Analisi complessa/Misura di Lebesgue

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Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.

Indichiamo con il simbolo l'insieme vuoto.

Se e sono due insiemi, definiamo:

  • l' unione dei due insiemi,
  • l' intersezione,
  • la differenza,
Definizione 4.2.1.
Due insiemi si dicono disgiunti se
.

Una famiglia di insiemi si dice anello se presi due insiemi , implica che:

  1. (chiusura rispetto all'unione)
  2. (chiusura rispetto alla differenza).

La proprietà 2. ne implica una terza:

, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:
.

si chiama -anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di è ancora un elemento di , cioè se implica

(chiusura rispetto all'unione numerabile)

Se è un -anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di è ancora un elemento dell'anello,

(chiusura rispetto all'intersezione numerabile)
Definizione
Una funzione
si dice funzione di insiemi
  • additiva se
  • numerabilmente additiva se:

Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia che , e quelle per cui .

Se una funzione di insiemi soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti proprietà:

  1. La serie converge assolutamente;
  2. ;
  3. se
  4. Se e allora .
  5. Se e ,
  6. Se e e con

Costruzione della misura di Lebesgue[modifica]

Definizione 4.2.3.
Definiamo un intervallo in l'insieme dei punti
tali che
sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni segni sostituiti da ; non si esclude il caso in cui per qualche si abbia , e l'insieme vuoto è un intervallo.
Definizione.
Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.

Definiamo la funzione di insiemi

e se è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo

.

Teorema[modifica]

Indichiamo con la famiglia dei sottoinsiemi elementari di .

  1. è un anello, ma non un -anello
  2. , è possibile scrivere come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
  3. definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono
  4. è additiva su .
Definizione 4.2.5
Una funzione di insiemi additiva e non negativa definita su si dice regolare se per ogni e esistono , con chiuso e aperto, tali che
e
Ad esempio, è regolare.

Sia ora additiva, non negativa, regolare e finita su . Ricopriamo un insieme con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari ,

.

Definiamo la misura esterna di corrispondente a

dove l' è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di .

Evidentemente , e se , allora .

TEOREMA 4.2.6.
Per ogni ,
e se
allora
Definizione
Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi e come
e, se
.

La funzione è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:

Non è vero tuttavia che . A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di rispetto alla relazione di equivalenza .

A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno spazio metrico. Diremo che (la successione di insiemi converge all'insieme A) se .

Se esiste una successione di insiemi elementari tale che diremo che è finitamente -misurabile, e scriveremo

Se è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente -misurabili, diremo che è -misurabile, e scriveremo .

Teorema
è un -anello, e è numerabilmente additiva su .
In altri termini, è il completamento di , e estende rendendolo un -anello.

In maniera analoga estende la funzione (definita solo su ) dandole un senso anche in , nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se si dice misura di Lebesgue.