Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.
Indichiamo con il simbolo
l'insieme vuoto.
Se
e
sono due insiemi, definiamo:
- l' unione dei due insiemi,
![{\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acd36ac0e7fa2743e63e6bb8b6690ac1102f565)
- l' intersezione,
![{\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e174859c473c520af1ff82d1fe0b051c9b29f07)
- la differenza,
![{\displaystyle A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfcc0b74329eaab22032577d945c0b44acd5a38)
- Definizione 4.2.1.
- Due insiemi si dicono disgiunti se
.
Una famiglia di insiemi
si dice anello se presi due insiemi
, implica che:
(chiusura rispetto all'unione)
(chiusura rispetto alla differenza).
La proprietà 2. ne implica una terza:
, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:
.
si chiama
-anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di
è ancora un elemento di
, cioè se
implica
(chiusura rispetto all'unione numerabile)
Se
è un
-anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di
è ancora un elemento dell'anello,
(chiusura rispetto all'intersezione numerabile)
- Definizione
- Una funzione
![{\displaystyle \phi :R\rightarrow \mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97b05ba96419958a223ec17edc5c29dbd40c557)
- si dice funzione di insiemi
- additiva se
![{\displaystyle A,B\in R\quad A\cap B=\emptyset \Rightarrow \phi (A\cup B)=\phi (A)+\phi (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2cc5eb6319ca56d1953f432f7c782f92ca34d9)
- numerabilmente additiva se:
![{\displaystyle A_{i}\in R;i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \quad \Rightarrow \quad \phi \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\phi (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4407cfa2007320244a3a92a5f795af81a27bcf)
Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia
che
, e quelle per cui
.
Se una funzione di insiemi
soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti
proprietà:
- La serie
converge assolutamente;
;
se ![{\displaystyle i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d25dccba96165350e36c14d68673e90ff54b8913)
- Se
e
allora
.
- Se
e
, ![{\displaystyle \phi (B\setminus A)=\phi (B)-\phi (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6539251547fde549d4c1f5bbce4cf3eca07925)
- Se
e
e
con ![{\displaystyle A\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23888524a469aa507433e3a224a3d3993194ab9f)
![{\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\rightarrow \infty }\phi (A_{n})=\phi (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2019139c3d3f73e06e53bfc29df48956911bd38)
- Definizione 4.2.3.
- Definiamo un intervallo in
l'insieme dei punti
![{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f99330c937abdb029c7e70a95e347ee525fe8f)
- tali che
![{\displaystyle a_{i}<x_{i}<b_{i}\quad i=1,\ldots ,p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7480ee6b05b62b460cab7bf55c161189454e2b4)
- sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni
segni sostituiti da
; non si esclude il caso in cui per qualche
si abbia
, e l'insieme vuoto è un intervallo.
- Definizione.
- Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme elementare.
Definiamo la funzione di insiemi
![{\displaystyle m(I)=\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b83d847bf8c8af61fc22fe1cc5cc14f128c8c6)
e se
è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo
.
Indichiamo con
la famiglia dei sottoinsiemi elementari di
.
è un anello, ma non un
-anello
, è possibile scrivere
come l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti
definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
è additiva su
.
- Definizione 4.2.5
- Una funzione di insiemi additiva e non negativa
definita su
si dice regolare se per ogni
e
esistono
, con
chiuso e
aperto, tali che
![{\displaystyle F\subseteq A\subseteq G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ab574fbcf4cfad2277c977983f7e4b62e0f12e)
- e
![{\displaystyle \psi (G)-\varepsilon \leq \psi (A)\leq \psi (F)+\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8243d5f7924d087e8e66cc41297f90c52eaeac5c)
- Ad esempio,
è regolare.
Sia ora
additiva, non negativa, regolare e finita su
. Ricopriamo un insieme
con un'infinità numerabile di insiemi aperti elementari
,
.
Definiamo la misura esterna di
corrispondente a
![{\displaystyle \mu ^{\star }(B)=\inf \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc36698218dbcd5ecf5a198a8bfe220aa98712f)
dove l'
è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di
.
Evidentemente
, e se
, allora
.
- TEOREMA 4.2.6.
- Per ogni
,
![{\displaystyle \mu ^{\star }(A)=\mu (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b375c83997d5a5bc417c6a4371e7cd6d780081)
- e se
allora ![{\displaystyle \mu ^{\star }(B)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{\star }(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15048d6e79934c76a1de842bc562c5762f606ace)
- Definizione
- Definiamo la differenza simmetrica tra due insiemi
e
come
![{\displaystyle S(A,B)=(A\setminus {B})\cup (B\setminus {A})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7984c7b4b0f90b570c4341557626d68cf41cdd)
- e, se
.
La funzione
è quasi una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà:
![{\displaystyle d(A,B)=d(B,A)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a890c219c23ab42751f3c2340bd759bd01622887)
![{\displaystyle d(A,A)=0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5407748b3297b8fd2ea4887ed4cf599ed777a2cb)
![{\displaystyle d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37a1b3936883d4eee60cd341340de75fddda847)
Non è vero tuttavia che
. A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme
delle classi di equivalenza dei sottoinsiemi di
rispetto alla relazione di equivalenza
.
A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno
spazio metrico. Diremo che
(la successione di insiemi
converge all'insieme A) se
.
Se esiste una successione
di insiemi elementari tale che
diremo che
è finitamente
-misurabile, e scriveremo
![{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{F}(\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b572be9c89f642305cf2a15ca33c14cf34b3afa)
Se
è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente
-misurabili, diremo che è
-misurabile, e scriveremo
.
- Teorema
è un
-anello, e
è numerabilmente additiva su
.
- In altri termini,
è il completamento di
, e
estende
rendendolo un
-anello.
In maniera analoga
estende la funzione
(definita solo su
) dandole un senso anche in
, nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice misura, e se
si dice misura di Lebesgue.