Analisi complessa/Norma e spazi di Banach

Definizione 2.4.1.

Una norma è un'applicazione $\Vert \cdot \Vert$ sullo spazio vettoriale $V$ (rispetto al campo $\mathbb {K}$ reale o complesso) che ha le seguenti proprietà:

siano $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ e $\lambda \in \mathbb {K}$

1. $\Vert \mathbf {x} \Vert \geq 0$
2. $\Vert \mathbf {x} \Vert =0\iff \mathbf {x} =\mathbf {0}$
3. $\Vert \lambda \mathbf {x} \Vert =|\lambda |\Vert \mathbf {x} \Vert$
4. $\Vert \mathbf {x} +\mathbf {y} \Vert \leq \Vert \mathbf {x} \Vert +\Vert \mathbf {y} \Vert$

Teorema

Una norma permette di definire una funzione

$d_{\Vert \cdot \Vert }:V^{2}\rightarrow \mathbb {R}$,

$d_{\Vert \cdot \Vert }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert$

che ha le proprietà di una distanza; $V$ è quindi uno spazio metrico rispetto alla distanza indotta dalla norma.

Definizione 2.4.3.

Uno spazio vettoriale su $\mathbb {C}$ dotato di norma e completo rispetto alla metrica indotta dalla norma si dice spazio di Banach.