- Definizione
- Sia
uno spazio lineare sul campo
o
, si definisce prodotto scalare, l'applicazione

- che possiede le seguenti proprietà:




Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come:
(simmetria).
Il prodotto scalare induce una norma

definita come

La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)

come segue:

- Teorema
- Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:


Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma
:
(Disuguaglianza di Schwartz)
(disuguaglianza triangolare)

- Definizione
- Lo spazio di Hilbert è uno spazio:
- su cui è definito un prodotto scalare
- completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.
Esempi: Sono spazi di Hilbert
. Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.
- Teorema
- Siano
, dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
(identità del parallelogramma)
- Dimostrazione
- Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:

- mentre

- pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:

- Che è quello che si voleva dimostrare.
Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:
La norma
soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:
![{\displaystyle <x,y>={\frac {1}{4}}\left[||x+y||^{2}-||x-y||^{2}+i\left(||x+iy||^{2}-||x-iy||^{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151bedda4de324143a025e15f66a2cfc3715d428)
ha le proprietà del prodotto scalare.
Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un
fissato ad ogni
il numero complesso
- Teorema
- Per ogni
, l'applicazione:
è lineare e continua.
Inoltre anche
è continua.
- Definizione
- Se
diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che
, la relazione di ortogonalità è simmetrica.
- Definiamo

Se
è un sottospazio di
definiamo

Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:
- Se
e
implica che
allora M si dice chiuso.
- Teorema
- Se M è un sottospazio di Hilbert H allora
è un sottospazio chiuso di H.
Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:
- Teorema 2.5.8
- Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima,
tale che 
- Teorema 2.5.9
- Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:


- Con le seguenti proprietà:





Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi
.
- Corollario 2.5.10
- Se
allora
non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.
Abbiamo mostrato che
è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.
- Teorema 2.5.11
- Se L è un funzionale lineare su X, e
, allora:
.
- Teorema 2.5.12
- Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo
tale che:

Il
delta di Kronecker è una funzione matematica di due variabili discrete,

e

definita come:

- Definizione
- Un insieme
di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove
è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se

- Teorema 2.5.14.
- Se
è un insieme ortonormale,
un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e
è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora
e 
- Corollario
- Dato che
e per ogni sottoinsieme finito
ogni insieme ortonormale è indipendente.
Sia
un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:
.
Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma,
e che

Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:
- Teorema 2.5.17
- Sia
un insieme ortonormale in X, e
allora:
,
- e l'uguaglianza vale solo se
;

- è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli
,
la distanza tra x ed il sottospazio allora

- Definizione
- Sia
un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo

- come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.
Inoltre, se
è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:

cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.
- Teorema 2.5.19
- Se
, l'insieme degli elementi
per i quali
è al più numerabile.
Riferendosi alla definizione data sopra, se
è un insieme ortonormale,

- Definizione
- Definiamo l'insieme:

Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:



questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale
, corrisponde un elemento
, grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:
.
Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di
cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:
Sia
un insieme ortonormale in H. Se
allora
.
- Definizione
- Un insieme ortonormale
si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se
e 
- Teorema
- Sia
un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.

- L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
- Per ogni
vale che 
- Se
allora
(uguaglianza di Parseval)
- Teorema
- Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.
- Definizione
- Diciamo che due spazi di Hilbert
sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva
che conservi i prodotti scalari cioè se :
.
- Teorema
- Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità
- Definizione
- Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H,
, tale che per ogni
esiste una sottosuccessione
che tende a x.
- Teorema
- Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.
- Teorema
- In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme
, indipendente tale che:
.