Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert

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Prodotto scalare[modifica]

Definizione
Sia uno spazio lineare sul campo o , si definisce prodotto scalare, l'applicazione
che possiede le seguenti proprietà:

Osservazioni[modifica]

Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come: (simmetria).

Il prodotto scalare induce una norma

definita come

La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)

come segue:

Teorema
Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:

Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma :

  1. (Disuguaglianza di Schwartz)
  2. (disuguaglianza triangolare)

Spazio di Hilbert[modifica]

Definizione
Lo spazio di Hilbert è uno spazio:
  • su cui è definito un prodotto scalare
  • completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.

Esempi: Sono spazi di Hilbert . Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.

Identità del parallelogramma[modifica]

Teorema
Siano , dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
(identità del parallelogramma)
Dimostrazione
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:
mentre
pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
Che è quello che si voleva dimostrare.

Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:

La norma soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:

ha le proprietà del prodotto scalare.

Teoremi[modifica]

Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un fissato ad ogni il numero complesso

Teorema
Per ogni , l'applicazione:
  • è lineare e continua.

Inoltre anche è continua.

Definizione
Se diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che , la relazione di ortogonalità è simmetrica.
Definiamo

Se è un sottospazio di definiamo

Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:

Se e implica che allora M si dice chiuso.
Teorema
Se M è un sottospazio di Hilbert H allora è un sottospazio chiuso di H.

Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:

Teorema 2.5.8
Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima, tale che
Teorema 2.5.9
Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:
Con le seguenti proprietà:


Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi .

Corollario 2.5.10
Se allora non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.

Abbiamo mostrato che è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.

Teorema 2.5.11
Se L è un funzionale lineare su X, e , allora:
.
Teorema 2.5.12
Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo tale che:

Insieme ortonormale[modifica]

Delta di Kronecker

Il delta di Kronecker è una funzione matematica di due variabili discrete, e definita come:
Definizione
Un insieme di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se
Teorema 2.5.14.
Se è un insieme ortonormale, un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora e
Corollario
Dato che e per ogni sottoinsieme finito ogni insieme ortonormale è indipendente.

Sia un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:

.

Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma, e che

Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:

Teorema 2.5.17
Sia un insieme ortonormale in X, e allora:
,
e l'uguaglianza vale solo se ;
è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli , la distanza tra x ed il sottospazio allora
Definizione
Sia un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo
come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.

Inoltre, se è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:

cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.

Teorema 2.5.19
Se , l'insieme degli elementi per i quali è al più numerabile.

Teorema (Disuguaglianza di Bessel)[modifica]

Riferendosi alla definizione data sopra, se è un insieme ortonormale,

Definizione
Definiamo l'insieme:

Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:

questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale , corrisponde un elemento , grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:

.

Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:

Teorema di Riesz-Fischer[modifica]

Sia un insieme ortonormale in H. Se allora .

Definizione
Un insieme ortonormale si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se e
Teorema
Sia un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.
  1. L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
  2. Per ogni vale che
  3. Se allora
(uguaglianza di Parseval)
Teorema
Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.
Definizione
Diciamo che due spazi di Hilbert sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva che conservi i prodotti scalari cioè se :
  • .
Teorema
Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità
Definizione
Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H, , tale che per ogni esiste una sottosuccessione che tende a x.
Teorema
Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.
Teorema
In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme , indipendente tale che:
.