- Definizione
- Sia
uno spazio lineare sul campo
o
, si definisce prodotto scalare, l'applicazione
![{\displaystyle <\cdot ,\cdot >:X\times X\longrightarrow \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c3712d9dd3722a76b6617442cad7dedb453d4f)
- che possiede le seguenti proprietà:
![{\displaystyle <x+y,z>=<x,z>+<y,z>\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a294edfce25cb1fde458ece1db59cade6ae6ba)
![{\displaystyle <\alpha x,y>=\alpha <x,y>\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e786dfd988bccb6b52b5d4f524da7e9b7d1cf9)
![{\displaystyle <x,y>={\overline {<y,x>}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8b73a0c2c8cbda2c7d5aec23178f7774f5ed71)
![{\displaystyle <x,x>=0\iff x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f846ff10ba71ab09afe8b37e92d09fc8481b549)
Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come:
(simmetria).
Il prodotto scalare induce una norma
![{\displaystyle ||\cdot ||:X\longrightarrow \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0e940b0e7579d6c5684e4053ff1f2517d1ed7c)
definita come
![{\displaystyle ||x||:={\sqrt {<x,x>}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0ef44a4c7a76061f8f6f1e6b01344ce6833f8f)
La funzione su scritta è ben definita grazie alla proprietà 4. del prodotto scalare. Inoltre si può definire una distanza (o metrica)
![{\displaystyle d_{||\cdot ||}:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2163cab5baad18c4d45e894f63a994aef2f8603d)
come segue:
![{\displaystyle d_{||\cdot ||}(x,y)=||x-y||={\sqrt {<x-y,x-y>}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629074d58ee2e27dfcdf22b6f95a143a171285b8)
- Teorema
- Dalle proprietà sopra elencate per il prodotto scalare ne seguono altre:
![{\displaystyle <0,y>=0\quad \forall y\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8632e980006787b753e452f63b096f477ba00633)
![{\displaystyle <x,\alpha y>={\bar {\alpha }}<x,y>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd419f6b05ca61461470e6f9c61c03b96bcbc6a)
Si dimostrano altre proprietà che valgono sulla norma
:
(Disuguaglianza di Schwartz)
(disuguaglianza triangolare)
![{\displaystyle ||\alpha x||=|\alpha |||x||\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b64c82fbd3361c0b89f318ae7b8045b6ae215e3)
- Definizione
- Lo spazio di Hilbert è uno spazio:
- su cui è definito un prodotto scalare
- completo rispetto alla metrica indotta dalla norma indotta a sua volta dal prodotto scalare.
Esempi: Sono spazi di Hilbert
. Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.
- Teorema
- Siano
, dove X è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
(identità del parallelogramma)
- Dimostrazione
- Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:
![{\displaystyle ||x+y||^{2}=<x+y,x+y>=<x,x+y>+<y,x+y>={\overline {<x+y,x>}}+{\overline {<x+y,y>}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91597850a890026e01b257586f1b51271bb58a2)
- mentre
![{\displaystyle ||x-y||^{2}=<x-y,x-y>=<x,x-y>-<y,x-y>={\overline {<x-y,x>}}-{\overline {<x-y,y>}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a65c6ec81cac611be18678564eaaa373dd509e8)
- pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
![{\displaystyle ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2<x,x>+2<y,y>=2||x||^{2}+2||y||^{2}=2(||x||^{2}+||y||^{2})\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6644e9cc3f585911c9896b290ccffb9e5060292)
- Che è quello che si voleva dimostrare.
Questa proprietà contraddistingue le norme indotte dal prodotto interno, si può dimostrare infatti che:
La norma
soddisfa l'identità del parallelogramma se e solo se:
![{\displaystyle <x,y>={\frac {1}{4}}\left[||x+y||^{2}-||x-y||^{2}+i\left(||x+iy||^{2}-||x-iy||^{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151bedda4de324143a025e15f66a2cfc3715d428)
ha le proprietà del prodotto scalare.
Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un
fissato ad ogni
il numero complesso
- Teorema
- Per ogni
, l'applicazione:
è lineare e continua.
Inoltre anche
è continua.
- Definizione
- Se
diciamo che x ed y sono ortogonali e scriviamo che
, la relazione di ortogonalità è simmetrica.
- Definiamo
![{\displaystyle x^{\bot {}}:=\left\{y\in X:y\bot x\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3feebaaf3e9243f8501ecbb9c6c39d13f03aa04)
Se
è un sottospazio di
definiamo
![{\displaystyle M^{\bot {}}=\left\{y\in X:y\bot x\quad \forall x\in M\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e8e54a7be7d147d2872523cc31223724fa8e8e)
Uno spazio di Hilbert si dice chiuso se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:
- Se
e
implica che
allora M si dice chiuso.
- Teorema
- Se M è un sottospazio di Hilbert H allora
è un sottospazio chiuso di H.
Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:
- Teorema 2.5.8
- Ogni sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso E di uno spazio di Hilbert X contiene un solo elemento di norma minima,
tale che ![{\displaystyle ||{\bar {y}}||=\inf _{x\in E}||x||}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff08217657a97abde1c777427ac396a7bf6d36c)
- Teorema 2.5.9
- Sia M un sottospazio di X. Esiste una ed una sola coppia di applicazioni lineari:
![{\displaystyle P:X\longrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25bb181cda968e87c91acbc9f18c54098a2f187)
![{\displaystyle Q:X\longrightarrow M^{\bot {}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec323803c7a7ccf5f0ff4e556a4bab3eee920801)
- Con le seguenti proprietà:
![{\displaystyle \forall x\in X\quad x=Px+Qx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917da9f788f3d3d4457084f8c68147590d55b2f6)
![{\displaystyle \forall x\in M\quad x=Px,Qx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0011c105dbcfaf819723528caecbc94ccb44d034)
![{\displaystyle \forall x\in M^{\bot {}}\quad x=Qx,\quad Px=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96050eed6bfde6e72e994d25f73eebf3d276163)
![{\displaystyle \forall x\in X\quad ||x-Px||=\inf _{y\in M}||x-y||}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac96f086db3f12e49d9a4eec2e060631a18fb70f)
![{\displaystyle ||x||^{2}=||Px||^{2}+||Qx||^{2}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067b1d3da72128fcd5ae9d4c33d409582a76a311)
Si dice che P e Q proiettano x sui sottospazi
.
- Corollario 2.5.10
- Se
allora
non è vuoto e contiene almeno un elemento diverso da 0.
Abbiamo mostrato che
è un funzionale lineare continuo; un teorema molto importante mostra come tutti i funzionali lineari su X possano essere espressi in questo modo.
- Teorema 2.5.11
- Se L è un funzionale lineare su X, e
, allora:
.
- Teorema 2.5.12
- Se L è un funzionale lineare continuo su X, allora vi è uno ed uno solo
tale che:
![{\displaystyle Lx=<x,y>,\quad \forall x\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fd8a8fda4a572f1995c2e6e11ec54addb870d2)
Delta di Kronecker
Il
delta di Kronecker è una funzione matematica di due variabili discrete,
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
e
![{\displaystyle \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
definita come:
![{\displaystyle \delta _{\alpha ,\beta }:=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}\alpha =\beta \\0&{\mbox{se }}\alpha \neq \beta \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b5dd02dc7b60ed1374096fdfc0b57080d720cd)
- Definizione
- Un insieme
di vettori di uno spazio di Hilbert H, dove
è un indice (discreto o continuo), è detto ortonormale se
![{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in A\quad <u_{\alpha },u_{\beta }>=\delta _{\alpha ,\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce9804746f299615688f50476b1628d67554f20)
- Teorema 2.5.14.
- Se
è un insieme ortonormale,
un qualsiasi sottoinsieme finito di vettori di U e
è una combinazione lineare di vettori di tale sottoinsieme, allora
e ![{\displaystyle ||x||^{2}=\sum _{i=1}^{k}|c_{i}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb197e36e359b0c7f5c4f233c6c7de2eff26f1b1)
- Corollario
- Dato che
e per ogni sottoinsieme finito
ogni insieme ortonormale è indipendente.
Sia
un insieme finito di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio di Hilbert X, si cercano i coefficienti che minimizzano:
.
Se si considera che ogni sottospazio finito dimensionale di uno spazio di Hilbert X è chiuso allora il teorema 2.5.9 ci garantisce l'esistenza di un unico elemento che minimizza tale norma,
e che
![{\displaystyle x-x_{0}\in <V>^{\bot {}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b7a726d817b33b6aee60b953655f10f22e52b7)
Da queste semplici considerazioni è possibile ricavare il seguente teorema:
- Teorema 2.5.17
- Sia
un insieme ortonormale in X, e
allora:
,
- e l'uguaglianza vale solo se
;
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}<x,u_{i}>u_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e760409105d766d340f7545c00924932232732)
- è la proiezione ortogonale di x sul sottospazio generato dagli
,
la distanza tra x ed il sottospazio allora
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}|<x,u_{i}>|^{2}=||x||^{2}-\delta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a650ed0d4968181b7e4a63f110fff5726a126274)
- Definizione
- Sia
un insieme ortonormale di vettori di X, ed x appartenente a X. Definiamo
![{\displaystyle {\tilde {x}}(\alpha )=<x,u_{\alpha }>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6bbdb3a9184a6883a2ca0a40dae420c90fe8e7f)
- come il coefficiente di Fourier del vettore x, rispetto all'insieme U.
Inoltre, se
è una funzione da un insieme di indici A, definiamo:
![{\displaystyle \sum _{\alpha \in A}\phi (\alpha )=\sup \left\{\sum _{i=1}^{k}{\phi (a_{i})}|\left\{a_{j}\right\}_{j=1}^{k}\subseteq A\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d131e77d40ab255ce18d9b5dcd7af0e196768c9)
cioè il sup delle somme su tutti i sottoinsiemi finiti di A.
- Teorema 2.5.19
- Se
, l'insieme degli elementi
per i quali
è al più numerabile.
Riferendosi alla definizione data sopra, se
è un insieme ortonormale,
![{\displaystyle \sum _{\alpha \in A}|{\tilde {x}}(\alpha )|^{2}\leq ||x||^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b13215636d8dd81d7f74987ad4100e960c31ee)
- Definizione
- Definiamo l'insieme:
![{\displaystyle l^{2}(A):=\left\{f:A\longrightarrow \mathbb {C} :\sum _{\alpha \in A}|f(\alpha )|^{2}<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6acf21dc9680c76cf1a9412da07c885c68757b)
Si può dimostrare che definendo somma, prodotto per uno scalare e prodotto interno come:
![{\displaystyle (f+g)(\alpha )=f(\alpha )+g(\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b07b59dbd2e86eecec15069c244d030e711334)
![{\displaystyle (\lambda f)(\alpha )=\lambda f(\alpha )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95810ab08b1187222fd5e70b9a6cf6c1645d395)
![{\displaystyle <f,g>:=\sum _{\alpha \in A}f(\alpha ){\overline {g(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f5bd17456bf9d59de09413b20553af0e5daa53)
questo insieme è uno spazio di Hilbert. Abbiamo notato sopra che ad ogni vettore x di uno spazio di Hilbert H, considerando un insieme ortonormale
, corrisponde un elemento
, grazie alla disuguaglianza di bessel, siamo sicuri che la somma:
.
Ci si può chiedere se questa corrispondenza sia suriettiva, cioè se ogni elemento di
cosrrisponda un elemento di H; la risposta è affermativa:
Sia
un insieme ortonormale in H. Se
allora
.
- Definizione
- Un insieme ortonormale
si dice massimale, o base Hilbertiana o base ortonormale completa se
e ![{\displaystyle <x,u_{\alpha }>=0\quad \forall \alpha \in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e8c3a4fa961cb610a2f0192f433174b2b088a7)
- Teorema
- Sia
un insieme ortonormale in H. Allora ognuna delle seguenti affermazioni implica le altre tre.
![{\displaystyle \left\{u_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719ebb8ab511576816f8df0887edb069865e22f2)
- L'insieme S di tutte le combinazioni lineari finite dei membri :di U è denso in H
- Per ogni
vale che ![{\displaystyle ||x||^{2}=\sum _{\alpha \in A}|{\tilde {x}}(\alpha )|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8ed1c9154286f22130f88193b80b555c514947)
- Se
allora
(uguaglianza di Parseval)
- Teorema
- Ogni spazio di Hilbert che non sia composto solo dall'elemento 0 ammette una base Hilbertiana.
- Definizione
- Diciamo che due spazi di Hilbert
sono isomorfi se esiste una applicazione lineare e suriettiva
che conservi i prodotti scalari cioè se :
.
- Teorema
- Due spazi di Hilbert sono isomorfi se e solo se hanno basi Hilbertiane della stessa cardinalità
- Definizione
- Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se contiene un sottoinsieme numerabile denso, cioè se esiste una successione di elementi di H,
, tale che per ogni
esiste una sottosuccessione
che tende a x.
- Teorema
- Uno spazio di hilbert H ha una base Hilbertiana al più numerabile se e solo se è separabile.
- Teorema
- In ogni spazio di Hilbert esiste una base di Hamel B, un insieme
, indipendente tale che:
.