Analisi complessa/Spazi metrici

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Spazi metrici[modifica]

Definizione 2.2.1
Un insieme , assieme ad una funzione distanza
è uno spazio metrico, e si indica con la coppia (X,d) se per ogni sono verificate le seguenti proprietà:
  1. (simmetria)
  2. (disuguaglianza triangolare)

La distanza induce una topologia di aperti, e di conseguenza è possibile definire un concetto che ritorna spesso in analisi matematica e topologia:

Definizione
Si dice intorno di un punto l'insieme .

Osservate che, dato un punto , l'intorno di raggio r centrato in è l'insieme dei punti che distano r dal punto .

TEOREMA 2.2.2.
Dalla disuguaglianza triangolare si ricava immediatamente che

Successioni[modifica]

Definizione 2.2.3.
Una funzione si dice successione in , ed i suoi elementi si indicano come . È una legge che associa ad ogni numero naturale, un elemento dell'insieme X

Successione convergente[modifica]

  • Si dice che una successione converge ad un valore se
,
cioè se è il limite della successione rispetto alla distanza .

Successione di Cauchy[modifica]

  • Una successione la quale

si dice successione di Cauchy;

Definizione
Uno spazio metrico nel quale ogni successione di Cauchy è convergente si dice completo.

Insieme denso[modifica]

Un insieme si dice denso nello spazio metrico se e .

Teorema
Ogni spazio metrico ammette un completamento: dato uno spazio metrico esiste sempre uno spazio metrico completo , ed una mappa

con le seguenti proprietà:

  • è iniettiva;
  • ;
  • è denso in
Definizione 2.2.5
Una funzione
definita su uno spazio metrico è una contrazione se per ogni è verificata la disuguaglianza
con .

Teorema del punto fisso[modifica]

Punto fisso

Siano una funzione, A insieme qualsiasi. Dicesi punto fisso per la funzione un valore tale che
Teorema 2.2.6 o del punto fisso
Se è uno spazio metrico completo e se è una contrazione su , allora

Serie di funzioni[modifica]

Consideriamo in questo paragrafo le funzioni definite tra due spazi metrici,

Definizione 2.2.7.
Diremo che la successione di funzioni converge puntualmente ad se
.
Diremo che una successione converge uniformemente se
per ogni .

L'importante differenza rispetto al caso precedente è che qui è possibile trovare un valido per tutti gli .

Teorema 2.2.8
Nel caso di funzioni da uno spazio metrico a , una serie di funzioni converge uniformemente a se e solo se

Mentre la convergenza puntuale non comunica alla funzione limite le proprietà eventualmente possedute dalle funzioni della successione, la convergenza uniforme ne trasmette alcune; in particolare si ha che

Teorema 2.2.9
Il limite uniforme di funzioni continue è continuo.