Analisi complessa/Serie di potenze

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Successioni nel campo complesso[modifica]

Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di .

In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in e le successioni in .

Successione e Serie[modifica]

Una successione in è una funzione , che indichiamo come un insieme di valori con indice, .

  • Diciamo che una successione converge a , o che se
  • Una serie è una somma infinita
e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali

Teorema 1.5.2.[modifica]

Sia una successione in , e allora

e

In modo analogo, se , la serie

e

Teorema sulla convergenza assoluta[modifica]

Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se

converge, allora converge anche

.

Serie di potenze[modifica]

Definizione 1.5.4[modifica]

Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro , della forma

Teorema[modifica]

Se una serie di potenze

converge per allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto

Definendo il raggio di convergenza come il

tra tutti gli per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio centrato in , ed in nessun punto all'esterno del cerchio.

Se la serie converge su , se è zero converge soltanto in .

Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,

Teorema 1.5.6.
Una serie di potenze con raggio di convergenza converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio centrato in , ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
Teorema 1.5.7.
Sia una serie di potenze definita come sopra, e un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia una funzione continua sul percorso . Allora

Teorema 1.5.8.[modifica]

è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè

Inoltre

Teorema 1.5.9 (di Taylor)[modifica]

Sia una funzione analitica in un cerchio aperto . Allora la serie di potenze definita come

converge a per ogni punto interno al cerchio.

Tale sviluppo è unico, cioè

converge a solo se i suoi coefficienti sono

Teorema 1.5.10 (di Laurent)[modifica]

Sia una funzione analitica in una corona circolare

e sia un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui è analitica.

Allora, in ogni punto del dominio,

e i coefficienti dello sviluppo valgono

Tale sviluppo è unico.

Prodotto di serie[modifica]

Definizione
Date due serie e è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come
con .

Teorema 1.5.11[modifica]

Se e sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno di due cerchi

e

rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi di convergenza.