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Successioni nel campo complesso [ modifica ]
Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di
C
{\displaystyle C}
.
In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in
C
{\displaystyle C}
e le successioni in
R
{\displaystyle R}
.
Successione e Serie [ modifica ]
Una successione in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
è una funzione
N
→
C
{\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }
, che indichiamo come un insieme di valori con indice,
z
n
{\displaystyle z_{n}}
.
Diciamo che una successione converge a
z
{\displaystyle z}
, o che
lim
n
→
∞
z
n
=
z
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z}
se
∀
ε
>
0
∃
N
∈
N
:
n
>
N
⇒
|
z
n
−
z
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} :n>N\Rightarrow |z_{n}-z|<\varepsilon }
Una serie è una somma infinita
∑
n
=
1
∞
z
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z_{n}}
e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
s
N
=
∑
n
=
1
N
z
n
N
∈
N
{\displaystyle s_{N}=\sum _{n=1}^{N}z_{n}\qquad N\in \mathbb {N} }
Sia
z
n
=
x
n
+
i
y
n
{\displaystyle z_{n}=x_{n}+iy_{n}}
una successione in
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, e
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
allora
lim
n
→
∞
z
n
=
z
⟺
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}=z\iff \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x}
e
lim
n
→
∞
y
n
=
y
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}=y}
In modo analogo, se
S
=
x
+
i
y
{\displaystyle S=x+iy}
, la serie
∑
n
=
1
∞
z
n
=
S
⟺
∑
n
=
1
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z_{n}=S\iff \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}=x}
e
∑
n
=
1
∞
y
n
=
y
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }y_{n}=y}
Teorema sulla convergenza assoluta [ modifica ]
Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se
∑
n
=
1
∞
|
z
n
|
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|}
converge, allora converge anche
∑
n
=
1
∞
z
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z_{n}}
.
Serie di potenze [ modifica ]
Definizione 1.5.4 [ modifica ]
Una serie di potenze è una serie dipendente da un parametro
z
{\displaystyle z}
, della forma
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
z
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}
Se una serie di potenze
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
z
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}
converge per
z
=
z
1
≠
z
0
{\displaystyle z=z_{1}\neq z_{0}}
allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto
|
z
−
z
0
|
<
R
1
=
|
z
1
−
z
0
|
{\displaystyle |z-z_{0}|<R_{1}=|z_{1}-z_{0}|\!}
Definendo il raggio di convergenza
R
{\displaystyle R}
come il
sup
|
z
−
z
0
|
{\displaystyle \sup |z-z_{0}|}
tra tutti gli
z
{\displaystyle z}
per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio
R
{\displaystyle R}
centrato in
z
0
{\displaystyle z_{0}}
, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.
Se
R
=
∞
{\displaystyle R=\infty }
la serie converge su
C
{\displaystyle C}
, se è zero converge soltanto in
z
0
{\displaystyle z_{0}}
.
Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,
S
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
z
0
)
n
(
|
z
−
z
0
|
<
R
)
{\displaystyle S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (|z-z_{0}|<R)}
Teorema 1.5.6.
Una serie di potenze con raggio di convergenza
R
{\displaystyle R}
converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio
R
′
<
R
{\displaystyle R'<R}
centrato in
z
0
{\displaystyle z_{0}}
, ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
Teorema 1.5.7.
Sia
S
(
z
)
{\displaystyle S(z)}
una serie di potenze definita come sopra, e
C
{\displaystyle C}
un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
una funzione continua sul percorso
C
{\displaystyle C}
. Allora
∫
C
g
(
z
)
S
(
z
)
d
z
=
∑
n
=
0
∞
a
n
∫
C
g
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
d
z
{\displaystyle \int _{C}g(z)S(z)dz=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{C}g(z)(z-z_{0})^{n}dz}
S
(
z
)
{\displaystyle S(z)}
è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè
S
′
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
n
a
n
(
z
−
z
0
)
n
−
1
{\displaystyle S'(z)=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-z_{0})^{n-1}}
Inoltre
a
n
=
S
(
n
)
(
z
0
)
n
!
{\displaystyle a_{n}={\frac {S^{(n)}(z_{0})}{n!}}}
Teorema 1.5.9 (di Taylor) [ modifica ]
Sia
f
{\displaystyle f}
una funzione analitica in un cerchio aperto
|
z
−
z
0
|
<
R
{\displaystyle |z-z_{0}|<R}
. Allora la serie di potenze definita come
S
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
z
0
)
n
!
(
z
−
z
0
)
n
{\displaystyle S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}}
converge a
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
per ogni punto interno al cerchio.
Tale sviluppo è unico, cioè
S
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
z
0
)
n
{\displaystyle S(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}
converge a
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
solo se i suoi coefficienti sono
a
n
=
f
(
n
)
(
z
0
)
n
!
{\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}\!}
Teorema 1.5.10 (di Laurent) [ modifica ]
Sia
f
{\displaystyle f}
una funzione analitica in una corona circolare
R
1
<
|
z
−
z
0
|
<
R
2
{\displaystyle R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\!}
e sia
C
{\displaystyle C}
un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui
f
{\displaystyle f}
è analitica.
Allora, in ogni punto del dominio,
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
z
0
)
n
+
∑
n
=
1
∞
b
n
(
z
−
z
0
)
n
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}}
e i coefficienti dello sviluppo valgono
a
n
=
1
2
π
i
∫
C
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
+
1
d
z
b
n
=
1
2
π
i
∫
C
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
−
n
+
1
d
z
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz\qquad b_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{-n+1}}}dz}
Tale sviluppo è unico.
Prodotto di serie [ modifica ]
Definizione
Date due serie
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
e
∑
b
n
{\displaystyle \sum b_{n}}
è possibile definire il prodotto di Cauchy delle due serie come
∑
n
c
n
{\displaystyle \sum _{n}c_{n}\,}
con
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}
.
Se
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno
di due cerchi
|
z
−
z
f
|
<
R
f
{\displaystyle |z-z_{f}|<R_{f}\!}
e
|
z
−
z
g
|
<
R
g
{\displaystyle |z-z_{g}|<R_{g}\!}
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge
al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi
di convergenza.