Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

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Spazio di Misura[modifica]

Definizione 4.5.1.
Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in , ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un -anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme si dice spazio di misura se esiste un -anello di sottoinsiemi di

(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi non negativa e numerabilmente additiva, detta misura , definita su .

Se , si dice spazio misurabile.

Sia una funzione definita su uno spazio misurabile , a valori in . La funzione si dice misurabile se l'insieme

è misurabile per ogni .

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  1. è misurabile per ogni
  2. è misurabile per ogni
  3. è misurabile per ogni
  4. è misurabile per ogni
TEOREMA 4.3.3.
  • Se è misurabile, anche è misurabile;
  • Se è una successione di funzioni misurabili allora
sono misurabili.
  • Se e sono misurabili, allora
sono misurabili.
  • In particolare sono misurabili

Funzione caratteristica[modifica]

Definizione
Sia una funzione definita su a valori reali.

Se l'immagine di è finita, diremo che è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E, 0 in caso contrario, cioè:

Se l'immagine di è costituita dai valori distinti , e , allora

e è misurabile se e solo se tutti gli insiemi lo sono.

Teorema[modifica]

Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia , allora esiste una successione di funzioni semplici tali che

puntualmente per .

  • Se è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
  • se è anche non negativa si può scegliere monotona crescente.
  • Se è limitata, la convergenza è uniforme.
Definizione
Sia una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile con misura , e l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su ,
,

tali che . Sia inoltre .Definiamo

allora

si dice integrale di Lebesgue di , rispetto alla misura , sull'insieme .

L'integrale può valere anche .

Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa

.

Definizione dell'integrale secondo Lebesgue[modifica]

La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che misurabile è integrabile secondo Lebesgue su , rispetto alla misura , e scriveremo su , se

e definiamo

.

L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:

  1. Se è misurabile e limitata su , e se , allora su .
  2. Se su , e se , allora
  3. Se su , e se in , allora
  4. Se su , allora su per ogni costante finita , e
  5. Se e è misurabile, allora
  6. Se su , è misurabile, allora su .
Teorema 4.3.8.
Se è misurabile e non negativa su , oppure se su , e definiamo per
è numerabilmente additiva su .
Corollario 4.3.9.
Se e , e è misurabile e non negativa, oppure su , allora
In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.

Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.

Teorema 4.3.10.
Se su , allora anche su E;
  • se è misurabile su , e e su , allora su .

Teorema della convergenza monotona di Lebesgue[modifica]

Sia , sia una successione di funzioni misurabili tali che

Se definiamo come allora

Corollario[modifica]

  1. Siano su E, allora:
    • su E
  2. Se è una successione di funzioni misurabili non negative,
allora

Teorema di Fatou[modifica]

Sia , una successione di funzioni misurabili non negative e allora

Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.[modifica]

Sia , una successione di funzioni misurabili tali che ; se esiste una funzione su tale che

,

allora

.

Integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue[modifica]

L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni, e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni di passaggio al limite. Dato che è uno spazio misurabile con il -anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione , diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di .

Teorema 4.3.15.
Se , allora su ,e

Se è limitata su , è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in .