Analisi complessa/Integrale di Lebesgue

Spazio di Misura

Definizione 4.5.1.

Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in $\mathbb {R} ^{p}$, ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un $\sigma$-anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme $X$ si dice spazio di misura se esiste un $\sigma$-anello ${\mathcal {M}}$ di sottoinsiemi di $X$

(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi $\mu$ non negativa e numerabilmente additiva, detta misura, definita su ${\mathcal {M}}$ .

Se $X\in {\mathcal {M}}$, $X$ si dice spazio misurabile.

Sia $f$ una funzione definita su uno spazio misurabile $X$, a valori in $\mathbb {R} \cup \left\{+\infty ,-\infty \right\}$. La funzione $f$ si dice misurabile se l'insieme

$\left\{x:f(x)>a\right\}$

è misurabile per ogni $a\in \mathbb {R}$.

Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. $\left\{x:f(x)>a\right\}$ è misurabile per ogni $a\in \mathbb {R}$
2. $\left\{x:f(x)\geq a\right\}$ è misurabile per ogni $a\in \mathbb {R}$
3. $\left\{x:f(x)<a\right\}$ è misurabile per ogni $a\in \mathbb {R}$
4. $\left\{x:f(x)\leq a\right\}$ è misurabile per ogni $a\in \mathbb {R}$

TEOREMA 4.3.3.

• Se $f$ è misurabile, anche $|f|$ è misurabile;
• Se $\left\{f_{n}\right\}$ è una successione di funzioni misurabili allora

$g(x)=\sup f_{n}(x)\qquad h(x)=\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$

sono misurabili.

• Se $f$ e $g$ sono misurabili, allora

1. $g+f\!$
2. $gf\!$
3. $\max(f,g)\!$
4. $\min(f,g)\!$

sono misurabili.

• In particolare sono misurabili

$f^{+}=\max(f,0)\qquad f^{-}=-\min(f,0)$

Funzione caratteristica

Definizione

Sia $s$ una funzione definita su $X$ a valori reali.

Se l'immagine di $s$ è finita, diremo che $f$ è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme $E\subseteq X$ ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E, 0 in caso contrario, cioè:

$\chi _{E}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}x\in E\\0,&{\mbox{se }}x\notin E\end{matrix}}\right.$

Se l'immagine di $s$ è costituita dai valori distinti $\left\{c_{i}\right\}_{i=1}^{N}$, e $E_{i}=\left\{x:s(x)=c_{i}\right\}$, allora

$s=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{E_{i}}$

e $s$ è misurabile se e solo se tutti gli insiemi $E_{i}$ lo sono.

Teorema

Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia $f:X\rightarrow R$, allora esiste una successione $\left\{s_{n}\right\}$ di funzioni semplici tali che

$s_{n}(x)\rightarrow f(x)$

puntualmente per $n\rightarrow \infty$.

• Se $f$ è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
• se è anche non negativa $\left\{s_{n}\right\}$ si può scegliere monotona crescente.
• Se $f$ è limitata, la convergenza è uniforme.

Definizione

Sia $f$ una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile $X$ con misura $\mu$, e $S$ l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su $X$,

$s=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{E_{i}}$,

tali che $0\leq s\leq f$. Sia inoltre $X\supseteq E\in {\mathcal {M}}$.Definiamo

$I_{E}(s)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\mu (E\cap E_{i})$

allora

$\int _{E}fd\mu =\sup _{s\in S}I_{E}(S)$

$s$ si dice integrale di Lebesgue di $f$, rispetto alla misura $\mu$, sull'insieme $E$ .

L'integrale può valere anche $+\infty$ .

Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa

$\int _{E}sd\mu =I_{E}(S)\!$.

Definizione dell'integrale secondo Lebesgue

La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che $f$ misurabile è integrabile secondo Lebesgue su $E$, rispetto alla misura $\mu$ , e scriveremo $f\in L(\mu )$su $E$, se

$\int _{E}f^{+}d\mu <\infty \qquad \int _{E}f^{-}d\mu <\infty$

e definiamo

$\int _{E}fd\mu =\int _{E}f^{+}d\mu -\int _{E}f^{-}d\mu \!$.

L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:

1. Se $f$ è misurabile e limitata su $E$, e se $\mu (E)<\infty$, allora $f\in L(\mu )$ su $E$.
2. Se $a\leq f\leq b$ su $E$, e se $\mu (E)<\infty$, allora $a\mu (E)\leq \int _{E}fd\mu \leq b\mu (E)$
3. Se $f,g\in L(\mu )$ su $E$, e se $f\leq g$ in $E$, allora $\int _{E}fd\mu \leq \int _{E}gd\mu$
4. Se $f\in L(\mu )$ su $E$, allora $cf\in L(\mu )$ su $E$ per ogni costante finita $c$, e $\int _{E}cfd\mu =c\int _{E}fd\mu \!$
5. Se $\mu (E)=0$ e $f$ è misurabile, allora $\int _{E}fd\mu =0\!$
6. Se $f\in L(\mu )$ su $E$, $A\subseteq E$ è misurabile, allora $f\in L(\mu )$ su $A$ .

Teorema 4.3.8.

Se $f$ è misurabile e non negativa su $X$, oppure se $f\in L(\mu )$ su $X$, e definiamo per $A\in {\mathcal {M}}$

$\phi (A)=\int _{A}fd\mu \!$

$\phi$ è numerabilmente additiva su ${\mathcal {M}}$.

Corollario 4.3.9.

Se $A,B\in {\mathcal {M}}$ e $\mu (A\setminus B)=0\!$, e $f$ è misurabile e non negativa, oppure $f\in L(\mu )$ su $X$, allora

$\int _{A}fd\mu =\int _{B}fd\mu \!$

In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.

Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.

Teorema 4.3.10.

Se $f\in L(\mu )$ su $E$, allora anche $|f|\in L(\mu )$ su E;

• se $f$ è misurabile su $E$, e $|f|\leq g$ e $g\in L(\mu )$ su $E$, allora $f\in L(\mu )$ su $E$.

Teorema della convergenza monotona di Lebesgue

Sia $E\in {\mathcal {M}}$, sia $\left\{f_{n}\right\}$ una successione di funzioni misurabili tali che

$0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots \leq f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\leq \cdots \quad \forall x\in E$

Se definiamo $f$ come $f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ allora

$\lim _{n\to \infty }\int _{E}{f_{n}}d\mu =\int _{E}fd\mu$

Corollario

1. Siano $f_{1},f_{2}\in L(\mu )$ su E, allora:

   • $f=f_{1}+f_{2}\in L(\mu )$ su E
   • $\int _{E}fd\mu =\int _{E}f_{1}d\mu +\int _{E}f_{2}d\mu \!$

2. Se $\left\{f_{n}\right\}$ è una successione di funzioni misurabili non negative,

   $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\qquad \forall x\in E$

allora

$\int _{E}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{E}f_{n}d\mu$

Teorema di Fatou

Sia $E\in {\mathcal {M}}$,$\left\{f_{n}\right\}$ una successione di funzioni misurabili non negative e $f(x)=\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ allora

$\int _{E}fd\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}d\mu$

Teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Sia $E\in {\mathcal {M}}$, $\left\{f_{n}\right\}$ una successione di funzioni misurabili tali che $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$; se esiste una funzione $g\in L(\mu )$ su $E$ tale che

$|f_{n}(x)|\leq g(x)\quad \forall n,x\in E$,

allora

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}d\mu =\int _{E}fd\mu$.

Integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue

L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni, e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni di passaggio al limite. Dato che $R^{1}$ è uno spazio misurabile con il $\sigma$ -anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione , diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di $R^{1}$ .

Teorema 4.3.15.

Se $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$, allora $f\in L(m)$ su $[a,b]$,e

$\int _{a}^{b}fdx=\int _{[a,b]}fdm$

Se $f$ è limitata su $[a,b]$, è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in $[a,b]$ .