- Definizione 4.5.1.
- Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in
, ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un
-anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme
si dice spazio di misura se esiste un
-anello
di sottoinsiemi di ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
(che si dicono misurabili), ed una funzione di insiemi
non negativa e numerabilmente additiva, detta misura, definita su
.
Se
,
si dice spazio misurabile.
Sia
una funzione definita su uno spazio misurabile
, a valori in
.
La funzione
si dice misurabile se l'insieme
![{\displaystyle \left\{x:f(x)>a\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c21a5470bd7eaf83724effa81024736267d0a5b)
è misurabile per ogni
.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
è misurabile per ogni ![{\displaystyle a\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53)
è misurabile per ogni ![{\displaystyle a\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53)
è misurabile per ogni ![{\displaystyle a\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53)
è misurabile per ogni ![{\displaystyle a\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b044c60e01b54c7116ee355431f37ed846badc53)
- TEOREMA 4.3.3.
- Se
è misurabile, anche
è misurabile;
- Se
è una successione di funzioni misurabili allora
![{\displaystyle g(x)=\sup f_{n}(x)\qquad h(x)=\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3c3554b621b62ffed1827cfe2147b7ec20fb39)
- sono misurabili.
- Se
e
sono misurabili, allora
![{\displaystyle g+f\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2297b839a7b8a9c0c384a48dde26ec935fc4ab73)
![{\displaystyle gf\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b4f75e6d3d0a0a6b41a549e0cfcb4738bc9f9c)
![{\displaystyle \max(f,g)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee7728b4d6a79e444b278c483a992b8f0f4735a)
![{\displaystyle \min(f,g)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc03498e9f2ee6841cdae19e789e5f18fd57313)
- sono misurabili.
- In particolare sono misurabili
![{\displaystyle f^{+}=\max(f,0)\qquad f^{-}=-\min(f,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdaded3b357b082d62f86dc07afd1467f757c3ad)
- Definizione
- Sia
una funzione definita su
a valori reali.
Se l'immagine di
è finita, diremo che
è una funzione semplice. In particolare è semplice la funzione caratteristica di un sottoinsieme
,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E, 0 in caso contrario, cioè:
![{\displaystyle \chi _{E}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{se }}x\in E\\0,&{\mbox{se }}x\notin E\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ef3205362c21975c6824e8151e153b85a89b95)
Se l'immagine di
è costituita dai valori distinti
, e
, allora
![{\displaystyle s=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{E_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca35d5b2ecb7fb9708ba4e2ba2b3eb8dbcc0da2)
e
è misurabile se e solo se tutti gli insiemi
lo sono.
Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia
, allora esiste una successione
di funzioni semplici tali che
![{\displaystyle s_{n}(x)\rightarrow f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411dbb1c5cb35f3d638b93d0679b297e11583efd)
puntualmente per
.
- Se
è misurabile, si può scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
- se è anche non negativa
si può scegliere monotona crescente.
- Se
è limitata, la convergenza è uniforme.
- Definizione
- Sia
una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile
con misura
, e
l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su
,
,
tali che
. Sia inoltre
.Definiamo
![{\displaystyle I_{E}(s)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\mu (E\cap E_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83917161091a871b3560a96346c7cf3c6cfc6698)
allora
![{\displaystyle \int _{E}fd\mu =\sup _{s\in S}I_{E}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d710b03993deaadedcabd8f6ee7f2caaa0d0e398)
si dice integrale di Lebesgue di
, rispetto alla misura
, sull'insieme
.
L'integrale può valere anche
.
Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa
.
La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che
misurabile è integrabile secondo Lebesgue su
, rispetto alla misura
, e scriveremo
su
, se
![{\displaystyle \int _{E}f^{+}d\mu <\infty \qquad \int _{E}f^{-}d\mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6257312580d941110b0b728c49303c697a6bb4c1)
e definiamo
.
L'integrale così definito gode delle seguenti proprietà:
- Se
è misurabile e limitata su
, e se
, allora
su
.
- Se
su
, e se
, allora ![{\displaystyle a\mu (E)\leq \int _{E}fd\mu \leq b\mu (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e221dccbcb12b77aef760886d9c37b4b174a315)
- Se
su
, e se
in
, allora ![{\displaystyle \int _{E}fd\mu \leq \int _{E}gd\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf938f7c8cef84a5c1f40db2f25386b0ab86619)
- Se
su
, allora
su
per ogni costante finita
, e ![{\displaystyle \int _{E}cfd\mu =c\int _{E}fd\mu \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6d0ca009b332a79fa609f6b89431089f844228)
- Se
e
è misurabile, allora ![{\displaystyle \int _{E}fd\mu =0\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8979818772adab34530a5c5200039b47227515)
- Se
su
,
è misurabile, allora
su
.
- Teorema 4.3.8.
- Se
è misurabile e non negativa su
, oppure se
su
, e definiamo per
![{\displaystyle \phi (A)=\int _{A}fd\mu \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4059fea1ff7a7eb31caa4257adabba3f7f7ffc50)
è numerabilmente additiva su
.
- Corollario 4.3.9.
- Se
e
, e
è misurabile e non negativa, oppure
su
, allora
![{\displaystyle \int _{A}fd\mu =\int _{B}fd\mu \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f16dc2116be5f3e6d54d814519aa71d8c0eb4f)
- In altre parole, se due funzioni differiscono solo su un insieme di misura nulla, il loro integrale sarà uguale.
Se per una funzione una proprietà vale per tutti i punti in cui è definita, eccetto che per un insieme di punti di misura nulla, diremo che la proprietà è verificata quasi ovunque.
- Teorema 4.3.10.
- Se
su
, allora anche
su E;
- se
è misurabile su
, e
e
su
, allora
su
.
Sia
, sia
una successione di funzioni misurabili tali che
![{\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots \leq f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\leq \cdots \quad \forall x\in E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ca7a097de10ead1b602d8ef7ec79db87a85786)
Se definiamo
come
allora
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}{f_{n}}d\mu =\int _{E}fd\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fee72e1f86fdd3cf8c1678ffaf437e81c27c58e)
- Siano
su E, allora:
su E
![{\displaystyle \int _{E}fd\mu =\int _{E}f_{1}d\mu +\int _{E}f_{2}d\mu \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e8af9bb3843c8c0774a6e68bffb04067ab47d2)
- Se
è una successione di funzioni misurabili non negative,
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)\qquad \forall x\in E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231e8b1bf31c5243371b1e8c0a43c8affecfd5d0)
- allora
![{\displaystyle \int _{E}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }\int _{E}f_{n}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fbab753922989c17e400da4bc379ee75e1fdbe)
Sia
,
una successione di funzioni misurabili non negative e
allora
![{\displaystyle \int _{E}fd\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ba8587fe3d7779208f771bf2f5815d628a2e8)
Sia
,
una successione di funzioni misurabili tali che
; se esiste una funzione
su
tale che
,
allora
.
L'integrale di Lebesgue permette di integrare classi più ampie di funzioni,
e soprattutto l'integrabilita' si conserva in modo naturale per operazioni
di passaggio al limite.
Dato che
è uno spazio misurabile con il
-anello e la misura di Lebesgue definite nella sezione
, diventa naturale chiedersi che relazione esista tra l'integrale di Riemann
e quello di Lebesgue nel caso di integrali su intervalli di
.
- Teorema 4.3.15.
- Se
, allora
su
,e
![{\displaystyle \int _{a}^{b}fdx=\int _{[a,b]}fdm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7785abdff65f42a9eb67969938712fdc86cd538b)
Se
è limitata su
, è Riemann-integrabile se e solo se è continua quasi ovunque in
.