Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
.
- Definizione 4.1.1.
- Sia dato un intervallo
, con
. Si definisce partizione di
un insieme finito di punti,
, tali che

- Scriveremo inoltre
.
Se ora
è una funzione reale limitata definita su
, e
una partizione di
poniamo



dove
sono calcolati al variare di tutte le partizioni di
, e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali,
si dice Riemann-integrabile (
), e definiamo l'integrale di Riemann di
su
il valore comune dei due integrali,

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono
tali che
per ogni
,
gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
se e solo se per ogni
esiste una partizione
tale che
Se tale condizione è verificata per la partizione
e
allora
