Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
.
- Definizione 4.1.1.
- Sia dato un intervallo
, con
. Si definisce partizione di
un insieme finito di punti,
, tali che
![{\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq \ldots \leq x_{n}-1\leq x_{n}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00882cc747fc6350bf02a9870a360c9303ec041b)
- Scriveremo inoltre
.
Se ora
è una funzione reale limitata definita su
, e
una partizione di
poniamo
![{\displaystyle M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x)\qquad m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b98e56f5b0e8332146a89712d83fd0ad12f177)
![{\displaystyle U(P,f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}\qquad L(P,f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862ddcedaa216ebf95ce0837eae91d34c6a8c8ff)
![{\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U(P,f)\qquad {\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L(P,f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfaa0594612cba1b79c5203ccfc5503064679fa7)
dove
sono calcolati al variare di tutte le partizioni di
, e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali,
si dice Riemann-integrabile (
), e definiamo l'integrale di Riemann di
su
il valore comune dei due integrali,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5196422302b8c86897c64e3fe58e8966b42c8bc6)
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono
tali che
per ogni
,
gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
se e solo se per ogni
esiste una partizione
tale che
Se tale condizione è verificata per la partizione
e
allora
![{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9668b8c3031c3bf007520a3bbb7fd8696c4f6d2)