Analisi complessa/Integrale di Riemann

Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di $\mathbb {R}$.

Definizione 4.1.1.

Sia dato un intervallo $[a,b]$, con $a\leq b\in \mathbb {R}$. Si definisce partizione di $[a,b]$ un insieme finito di punti,$P$, tali che

$a=x_{0}\leq x_{1}\leq \ldots \leq x_{n}-1\leq x_{n}=b$

Scriveremo inoltre $\Delta x_{i}=x_{1}-x_{i}-1\!$.

Se ora $f$ è una funzione reale limitata definita su $[a,b]$, e $P$ una partizione di $[a,b]$ poniamo

• $M_{i}=\sup _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x)\qquad m_{i}=\inf _{x_{i}-1\leq x\leq x_{i}}f(x)\qquad$
• $U(P,f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}\qquad L(P,f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$
• ${\overline {\int _{a}^{b}}}fdx=\inf U(P,f)\qquad {\underline {\int _{a}^{b}}}fdx=\sup L(P,f)$

dove $\inf ,\sup$ sono calcolati al variare di tutte le partizioni di $[a,b]$, e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.

Se i due integrali sono uguali, $f$ si dice Riemann-integrabile ( $f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ ), e definiamo l'integrale di Riemann di $f$ su $[a,b]$ il valore comune dei due integrali,

$\int _{a}^{b}fdx={\overline {\int _{a}^{b}}}f,dx={\underline {\int _{a}^{b}}}fdx$

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono $m,M\in \mathbb {R}$ tali che $m\leq f(x)\leq M$ per ogni $x\in [a,b]$, $m(b-a)\leq L(P,f)\leq U(P,f)\leq M(b-a)$ gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Teorema

$f\in {\mathcal {R}}([a,b])$ se e solo se per ogni $\varepsilon >0$ esiste una partizione $P$ tale che $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$

Se tale condizione è verificata per la partizione $P=\left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}$ e $t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ allora

$\left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-\int _{a}^{b}fdx\right|<\varepsilon .$