Analisi complessa/Integrale di Riemann

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Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di .

Definizione 4.1.1.
Sia dato un intervallo , con . Si definisce partizione di un insieme finito di punti,, tali che
Scriveremo inoltre .

Se ora è una funzione reale limitata definita su , e una partizione di poniamo

dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.

Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile ( ), e definiamo l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali,

Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono tali che per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Teorema[modifica]

se e solo se per ogni esiste una partizione tale che

Se tale condizione è verificata per la partizione e allora