Analisi complessa/Serie trigonometriche

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Definizione 2.6.1.
Sia
il cerchio unitario nel piano complesso; se è una qualsiasi funzione definita su , la funzione definita su come è una funzione periodica di periodo . Viceversa, ad ogni funzione periodica su di periodo corrisponde una funzione definita su .
Definizione 2.6.1
Sia l'insieme di tutte le funzioni continue definite su (o equivalentemente delle funzioni su continue e -periodiche).

Definendo il prodotto interno

è uno spazio pre-Hilbertiano, ma non è completo. In effetti, è completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,

,

che però non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare come uno spazio con prodotto interno. Per ottenere una struttura Hilbertiana su è necessario concepire un integrale più generale di quello di Riemann-Stieltjes, e considerare l'insieme delle funzioni al quadrato integrabile,, con prodotto scalare

si può dimostrare che questo spazio è completo.

Polinomi trigonometrici[modifica]

Definizione 2.6.2
Consideriamo gli insiemi ortonormali in ,

definiamo quindi i polinomi trigonometrici come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente

I polinomi trigonometrici sono densi in , sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in , ne segue che è separabile.

Corollario 2.6.4
Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione definiamo i suoi coefficienti di Fourier
allora vale l'uguaglianza di Parseval
e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi sommabile in modulo quadro vi è una funzione in per la quale
.