Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier

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Trasformata di Fourier[modifica]

Definizione e proprietà[modifica]

Definizione 3.1.1.
Sia l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su ,
.

Sia , definiamo la trasformata di Fourier di come la funzione

definiamo poi l'antitrasformata di Fourier la funzione

Sotto opportune ipotesi,

Cioè, l'antitrasformata della trasformata di una funzione coincide con la funzione stessa

TEOREMA 3.1.2[modifica]

Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni e le loro trasformate valgono le seguenti proprietà algebriche:

Siano :

e le proprietà analitiche:

  1. è limitata,
  2. è uniformemente continua
  3. Se e per , allora
  4. Se allora
, e

Trasformata di Fourier in [modifica]

Gli spazi

Gli spazi , con reale oppure infinito, sono le funzioni che sono p-sommabili cioè:

non è un sottoinsieme di , e quindi esistono funzioni in per le quali

non è ben definita.

Si può però definirla senza problemi in  ; considerato che è un sottoinsieme denso di , e che esiste tale che in norma , possiamo definire

Dato che la norma di non distingue tra funzioni che differiscono su un insieme di misura (in effetti gli elementi di sono classi di equivalenza di funzioni che sono uguali quasi ovunque), il problema di questa definizione è che la trasformata è ben definita come elemento dello spazio di Hilbert , ma non puntualmente.

Si può dimostrare che vale anche l'uguaglianza di Parseval: