Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

L'analisi modale studia l'andamento asintotico ($t\to +\mathrm{\infty }$) dei modi naturali.

Modi naturali

Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:

$\dot{x}(t)=Ax(t)\Rightarrow x(t)=x_{\ell }(t)=e^{At}x\left(0^{-}\right)=\underset{e^{At}}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{2}t}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n-1}t}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]}}\underset{x\left(0^{-}\right)}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(0^{-}\right)\\ x_2\left(0^{-}\right)\\ ⋮\\ x_{n-1}\left(0^{-}\right)\\ x_n\left(0^{-}\right)\end{array}\right]}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(0^{-}\right)e^{{\lambda }_{1}t}\\ x_2\left(0^{-}\right)e^{{\lambda }_{2}t}\\ ⋮\\ x_{n-1}\left(0^{-}\right)e^{{\lambda }_{n-1}t}\\ x_n\left(0^{-}\right)e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$

dove la matrice esponenziale $e^{At}$ è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano $n$ autovalori ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ reali e distinti.

Ogni funzione del tipo:

$m_t(t)=e^{{\lambda }_i(t)}$

è detta modo naturale (o modo proprio) del sistema associato all'autovalore ${\lambda }_i$.

Analisi modale

$x_{\ell }(t)=e^{At}x\left(0^{-}\right)=\underset{e^{At}}{\underbrace{T{e}^{\tilde{A}t}{T}^{-1}}}x\left(0^{-}\right)$

dove a una matrice $A$ qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità:

$e^{At}=T{e}^{\tilde{A}t}{T}^{-1}$

• $T$ è una matrice costante;
• $\tilde{A}$ è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:

  $\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{\tilde{A}}_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& {\tilde{A}}_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\tilde{A}}_{n-1}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& {\tilde{A}}_n\end{array}\right]$

Autovalori semplici

Autovalori reali semplici

I blocchi di $e^{\tilde{A}t}$ corrispondenti a $n$ autovalori reali distinti ${\lambda }_i$ hanno forma diagonale:

$\left[\begin{array}{ccccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& e^{{\lambda }_{2}t}& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n-1}t}& 0\\ 0& 0& \cdots & 0& e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$

e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo $e^{{\lambda }_{i}t}$, che possono essere:

• esponenzialmente convergenti se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)<0$ (es. $e^{-t}$);
• limitati (costanti) se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)=0$ (es. $e^{0t}=1$);
• esponenzialmente divergenti se $\mathrm{\Re }\left({\lambda }_i\right)>0$ (es. $e^t$).

Autovalori complessi semplici

I blocchi di $e^{\tilde{A}t}$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo $\lambda =\sigma \pm j\omega$ hanno la forma:

$e^{\sigma t}\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\omega t\right)& \sin \left(\omega t\right)\\ -\sin \left(\omega t\right)& \cos \left(\omega t\right)\end{array}\right]$

e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo $e^{\sigma t}\cos \left(\omega t\right)$ e $e^{\sigma t}\sin \left(\omega t\right)$, che possono essere:

• esponenzialmente convergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=\sigma <0$ (es. $e^{-t}\sin \left(5t\right)$);
• limitati (oscillanti) se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=\sigma =0\wedge \mathrm{\Im }\left(\lambda \right)=\omega \ne 0$ (es. $\sin \left(5t\right)$);
• esponenzialmente divergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=\sigma >0$ (es. $e^t\sin \left(5t\right)$).

Autovalori multipli

Autovalori reali multipli

I blocchi di $e^{\tilde{A}t}$ corrispondenti a un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:

$\left[\begin{array}{cccc}{e}^{\lambda t}& t{e}^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{{\mu }^{\prime }-1}}{({\mu }^{\prime }-1)!}{e}^{\lambda t}\\ 0& e^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{{\mu }^{\prime }-2}}{({\mu }^{\prime }-2)!}{e}^{\lambda t}\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& e^{\lambda t}\end{array}\right]$

e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica ${\mu }^{\prime }\le \mu$ del tipo $t^j{e}^{\lambda t}$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,0$).

Se ${\mu }^{\prime }>1$, i modi naturali del tipo $t^j{e}^{\lambda t}$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,1$) possono essere:

• esponenzialmente convergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)<0$ (es. $t{e}^{-t}$);
• polinomialmente divergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=0$ (es. $t{e}^{0t}=t$);
• esponenzialmente divergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)>0$ (es. $t{e}^t$).

Autovalori complessi multipli

I blocchi di $e^{\tilde{A}t}$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi $\lambda =\sigma \pm j\omega$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica ${\mu }^{\prime }\le \mu$ del tipo $t^j{e}^{\sigma t}\cos \left(\omega t\right)$ e $t^j{e}^{\sigma t}\sin \left(\omega t\right)$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,0$).

Se ${\mu }^{\prime }>1$, i modi naturali del tipo $t^j{e}^{\sigma t}\cos \left(\omega t\right)$ e $t^j{e}^{\sigma t}\sin \left(\omega t\right)$ ($j={\mu }^{\prime }-1,\dots ,1$) possono essere:

• esponenzialmente convergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=\sigma <0$ (es. $t{e}^{-t}\sin \left(5t\right)$);
• polinomialmente divergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=\sigma =0$ (es. $t\sin \left(5t\right)$);
• esponenzialmente divergenti se $\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)=\sigma >0$ (es. $t{e}^t\sin \left(5t\right)$).

Costante di tempo

Per un modo convergente, la costante di tempo misura la rapidità di convergenza a zero del modo:

$\tau =\left|\frac{1}{\mathrm{\Re }\left(\lambda \right)}\right|$