Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

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Indice del libro

L'analisi modale studia l'andamento asintotico () dei modi naturali.

Modi naturali[modifica]

Per la formula di Lagrange, un sistema dinamico LTI a tempo continuo con ingressi nulli ha equazione di stato:

dove la matrice esponenziale è una matrice diagonale sulla cui diagonale si trovano autovalori reali e distinti.

Ogni funzione del tipo:

è detta modo naturale (o modo proprio) del sistema associato all'autovalore .

Analisi modale[modifica]

dove a una matrice qualsiasi (anche non diagonale) è stata applicata la trasformazione di similarità:

  • è una matrice costante;
  • è una matrice in forma di Jordan, cioè è diagonale a blocchi di dimensione pari alla molteplicità dell'autovalore corrispondente:

Autovalori semplici[modifica]

Autovalori reali semplici[modifica]

I blocchi di corrispondenti a autovalori reali distinti hanno forma diagonale:

e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo , che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se (es. );
  • limitati (costanti) se (es. );
  • esponenzialmente divergenti se (es. ).

Autovalori complessi semplici[modifica]

I blocchi di corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo hanno la forma:

e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo e , che possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se (es. );
  • limitati (oscillanti) se (es. );
  • esponenzialmente divergenti se (es. ).

Autovalori multipli[modifica]

Autovalori reali multipli[modifica]

I blocchi di corrispondenti a un autovalore reale con molteplicità algebrica sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:

e danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica del tipo ().

Se , i modi naturali del tipo () possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se (es. );
  • polinomialmente divergenti se (es. );
  • esponenzialmente divergenti se (es. ).

Autovalori complessi multipli[modifica]

Convergenza modi naturali LTI TC.png

I blocchi di corrispondenti a una coppia di autovalori complessi con molteplicità algebrica danno origine a un numero di modi naturali pari alla molteplicità geometrica del tipo e ().

Se , i modi naturali del tipo e () possono essere:

  • esponenzialmente convergenti se (es. );
  • polinomialmente divergenti se (es. );
  • esponenzialmente divergenti se (es. ).

Costante di tempo[modifica]

Time constant convergent natural mode LTI CT.png

Per un modo convergente, la costante di tempo misura la rapidità di convergenza a zero del modo: