Fondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo discreto è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

$\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)\\ y\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Du\left(k\right)\end{array}$

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

$\{\begin{array}{c}x(k)=\underset{x_{\ell }(k)}{\underbrace{A^{k}x\left(0\right)}}+\underset{x_f\left(k\right)}{\underbrace{\sum _{i=0}^{k-1}{A}^{k-i-1}Bu\left(i\right)}}\\ y(k)=\underset{y_{\ell }(k)}{\underbrace{C{A}^{k}x\left(0\right)}}+\underset{y_f\left(k\right)}{\underbrace{C\sum _{i=0}^{k-1}{A}^{k-i-1}Bu\left(i\right)+Du\left(k\right)}}\end{array}$

Dimostrazione

$\begin{array}{c}x(1)=Ax(0)+Bu(0)\\ x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^{2}x(0)+ABu(0)+Bu(1)\\ x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^{3}x(0)+A^{2}Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)\end{array}$

Analisi nel dominio della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio della trasformata Zeta e calcolando esplicitamente $X\left(z\right)$ e $Y\left(z\right)$:

$\{\begin{array}{c}zX\left(z\right)-zx\left(0\right)=AX\left(z\right)+BU\left(z\right)\Rightarrow X\left(z\right)=\underset{X_{\ell }\left(z\right)}{\underbrace{\stackrel{H_0^x\left(z\right)}{\overbrace{z{(zI-A)}^{-1}}}x\left(0\right)}}+\underset{X_f\left(z\right)}{\underbrace{\stackrel{H_f^x\left(z\right)}{\overbrace{{(zI-A)}^{-1}B}}U\left(z\right)}}=H_0^x\left(z\right)x\left(0\right)+H_f^x\left(z\right)U\left(z\right)\\ Y\left(z\right)=CX\left(z\right)+DU\left(z\right)=\underset{Y_{\ell }\left(z\right)}{\underbrace{\stackrel{H_0\left(z\right)}{\overbrace{zC{(zI-A)}^{-1}}}x\left(0\right)}}+\underset{Y_f\left(z\right)}{\underbrace{\stackrel{H\left(z\right)}{\overbrace{[C{(zI-A)}^{-1}B+D]}}U\left(z\right)}}=H_0\left(z\right)x\left(0\right)+H\left(z\right)U\left(z\right)\end{array}$

dove:

• la matrice $H\left(z\right)$ è detta matrice di trasferimento;
• la matrice $z{I}_n-A$ deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più $n$ valori distinti di $z$ che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado $n$:

  $det(z{I}_n-A)=z^n+{\alpha }_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +{\alpha }_{1}z+{\alpha }_0$

• le matrici $H_0^x\left(z\right)$, $H_f^x\left(z\right)$, $H_0\left(z\right)$ e $H\left(z\right)$ sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa $z$ (a causa della matrice inversa).