Fondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo discreto è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

${\begin{cases}x\left(k+1\right)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)\\y\left(k\right)=Cx\left(k\right)+Du\left(k\right)\end{cases}}$

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

${\begin{cases}x(k)=\underbrace {A^{k}x\left(0\right)} _{x_{\ell }(k)}+\underbrace {\sum _{i=0}^{k-1}A^{k-i-1}Bu\left(i\right)} _{x_{f}\left(k\right)}\\y(k)=\underbrace {CA^{k}x\left(0\right)} _{y_{\ell }(k)}+\underbrace {C\sum _{i=0}^{k-1}A^{k-i-1}Bu\left(i\right)+Du\left(k\right)} _{y_{f}\left(k\right)}\end{cases}}$

Dimostrazione

${\begin{array}{l}x(1)=Ax(0)+Bu(0)\\x(2)=Ax(1)+Bu(1)=A^{2}x(0)+ABu(0)+Bu(1)\\x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A^{3}x(0)+A^{2}Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)\end{array}}$

Analisi nel dominio della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio della trasformata Zeta e calcolando esplicitamente $X\left(z\right)$ e $Y\left(z\right)$:

${\begin{cases}zX\left(z\right)-zx\left(0\right)=AX\left(z\right)+BU\left(z\right)\Rightarrow X\left(z\right)=\underbrace {\overbrace {z{\left(zI-A\right)}^{-1}} ^{H_{0}^{x}\left(z\right)}x\left(0\right)} _{X_{\ell }\left(z\right)}+\underbrace {\overbrace {{\left(zI-A\right)}^{-1}B} ^{H_{f}^{x}\left(z\right)}U\left(z\right)} _{X_{f}\left(z\right)}=H_{0}^{x}\left(z\right)x\left(0\right)+H_{f}^{x}\left(z\right)U\left(z\right)\\Y\left(z\right)=CX\left(z\right)+DU\left(z\right)=\underbrace {\overbrace {zC{\left(zI-A\right)}^{-1}} ^{H_{0}\left(z\right)}x\left(0\right)} _{Y_{\ell }\left(z\right)}+\underbrace {\overbrace {\left[C{\left(zI-A\right)}^{-1}B+D\right]} ^{H\left(z\right)}U\left(z\right)} _{Y_{f}\left(z\right)}=H_{0}\left(z\right)x\left(0\right)+H\left(z\right)U\left(z\right)\end{cases}}$

dove:

• la matrice $H\left(z\right)$ è detta matrice di trasferimento;
• la matrice $zI_{n}-A$ deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più $n$ valori distinti di $z$ che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado $n$:

  $\det \left(zI_{n}-A\right)=z^{n}+\alpha _{n-1}z^{n-1}+\cdots +\alpha _{1}z+\alpha _{0}$

• le matrici $H_{0}^{x}\left(z\right)$, $H_{f}^{x}\left(z\right)$, $H_{0}\left(z\right)$ e $H\left(z\right)$ sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa $z$ (a causa della matrice inversa).