Fondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto

I sistemi dinamici a tempo discreto sono descritti dalle seguenti equazioni di stato (equazione alle differenze) e di uscita:

${\begin{cases}x_{i}\left(k+1\right)=f_{i}\left(k,x(k),u(k)\right)\\y_{l}(k)=g_{l}\left(k,x(k),u(k)\right)\end{cases}}$

Sistemi dinamici a classi di età

I modelli a classi di età permettono di sapere il numero degli elementi di una certa classe $i$-esima nell'istante temporale $k$. L'evoluzione di ogni classe dall'istante $k$ all'istante $k+1$ è descritta tenendo conto del tasso di mortalità $\gamma$ e del tasso di sopravvivenza $1-\gamma$ degli elementi della classe.

Lo stato $x_{i}(k)$ è il numero di elementi della classe $i$-esima, l'ingresso $u(k)$ rappresenta l'ingresso di nuovi elementi in una classe.

Equazioni di stato e di uscita

${\begin{cases}x\left(k+1\right)=Ax(k)+Bu(k)\\y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{cases}}$

Sistemi dinamici a dati campionati

• 
  Sistema di controllo a tempo continuo
• 
  Sistema di controllo a tempo discreto

Discretizzazione

Il processo di discretizzazione avviene attraverso un campionatore con passo di campionamento $T_{s}$:

${\begin{cases}x(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}x\left(k+1\right)=A_{d}x(k)+B_{d}u(k)\\y(k)=C_{d}x(k)+D_{d}u(k)\end{cases}}$

dove le matrici $A_{d}$ e $B_{d}$ sono ricavabili dalla formula di Lagrange:

$x(t)=e^{A\left(t-t_{0}\right)}x\left(t_{0}\right)+\int _{t_{0}}^{t}e^{A\left(t-t_{0}-\tau \right)}Bu\left(\tau \right)d\tau \Rightarrow x\left(k+1\right)=\underbrace {e^{AT_{s}}} _{A_{d}}x\left(k\right)+\underbrace {\left(\int _{0}^{T_{s}}e^{A\left(T_{s}-\tau \right)}d\tau \right)} _{B_{d}}Bu(k)$