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Fondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità

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Indice del libro

Le proprietà di raggiungibilità e controllabilità descrivono come le variazioni dell'ingresso possono modificare lo stato del sistema:

  • raggiungibilità: a partire da un particolare stato iniziale, si può raggiungere lo stato finale desiderato agendo sull'ingresso ?
  • controllabilità: a partire da un particolare stato finale, si può raggiungere lo stato iniziale desiderato agendo sull'ingresso ?

Raggiungibilità

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Uno stato si dice raggiungibile a partire dallo stato zero se esistono:

  • un istante di tempo ;
  • una funzione di ingresso definita in ;

tali che il movimento dello stato raggiunga al tempo lo stato finale :

In un sistema LTI con dimensione finita , lo spazio di stato si divide in due parti:

  • parte raggiungibile: il sottospazio di raggiungibilità di dimensione , a cui sono associati autovalori della matrice ;
  • parte non raggiungibile: il sottospazio di non raggiungibilità di dimensione , a cui sono associati autovalori della matrice .

L'insieme di raggiungibilità è l'insieme di tutti gli stati finali raggiungibili al tempo a partire dallo stato zero considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

L'insieme di raggiungibilità costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato .

Il sottospazio di raggiungibilità è il più grande insieme di raggiungibilità :

La dimensione del sottospazio di raggiungibilità è pari al rango della matrice di raggiungibilità :

La matrice di raggiungibilità rappresenta il legame tra tutte le possibili variazioni degli ingressi in e tutti i possibili stati finali :

dove è il rango della matrice (è sempre pari a 1 se il sistema ha un solo ingresso):


Gli stati finali che non si possono raggiungere dallo stato zero costituiscono il sottospazio di non raggiungibilità , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di raggiungibilità :

L'ingresso agisce solo sulla parte raggiungibile → la parte raggiungibile non influenza la parte non raggiungibile. Tuttavia, la parte non raggiungibile può disturbare la parte raggiungibile → è possibile regolare opportunamente l'ingresso per compensare i disturbi della parte non raggiungibile.

Un sistema è completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità coincide con lo spazio di stato , cioè a partire dallo stato zero si può raggiungere qualunque stato finale:

Controllabilità

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Uno stato si dice controllabile allo stato zero se esistono:

  • un istante di tempo ;
  • una funzione di ingresso definita in ;

tali che il movimento dello stato raggiunga al tempo lo stato zero :

L'insieme di controllabilità è l'insieme di tutti gli stati finali controllabili al tempo allo stato zero considerando tutti i possibili ingressi applicabili:

L'insieme di controllabilità costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato .

Il sottospazio di controllabilità è il più grande insieme di controllabilità :

Un sistema è completamente controllabile se il sottospazio di controllabilità coincide con lo spazio di stato , cioè lo stato finale si può raggiungere a partire da un qualunque stato zero:

Se il sistema non è completamente controllabile, gli stati iniziali da cui non si può raggiungere lo stato finale costituiscono il sottospazio di non controllabilità , definito come il complemento ortogonale del sottospazio di controllabilità :

Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di raggiungibilità e controllabilità coincidono:

Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di raggiungibilità è incluso nel sottospazio di controllabilità :

Se la matrice è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:

Problema della realizzazione

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Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento è univoca:

Invece, data la funzione di trasferimento di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).

Una possibile realizzazione è la forma canonica di raggiungibilità:

  • la matrice è in forma compagna inferiore → il polinomio caratteristico della matrice è:
  • il sistema dinamico individuato dalle matrici , , e è sempre completamente raggiungibile.