Le proprietà di osservabilità e rilevabilità descrivono come stimare lo stato
mediante la misura del movimento dell'uscita
e dell'ingresso
su un dato intervallo di tempo:
- osservabilità: stima dello stato iniziale del sistema;
- rilevabilità: stima dello stato finale del sistema.
Uno stato
si dice non osservabile nell'intervallo
se, per qualunque
, il movimento libero
che parte dallo stato iniziale
risulta:
![{\displaystyle y_{\ell }\left(t\right)=0,\quad \forall t\in \left[t_{0},t^{*}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb96e85bb04159a7f021ce07a8c6882e175f0ce)
In un sistema LTI con dimensione finita
, lo spazio di stato
si divide in due parti:
- parte osservabile: il sottospazio di osservabilità
di dimensione
, a cui sono associati
autovalori della matrice
;
- parte non osservabile: il sottospazio di non osservabilità
di dimensione
, a cui sono associati
autovalori della matrice
.
L'insieme di non osservabilità
è l'insieme di tutti gli stati iniziali
non osservabili nell'intervallo
, cioè gli stati iniziali
che non possono essere stimati (perché il movimento libero
è sempre nullo).
L'insieme di non osservabilità
costituisce un sottospazio vettoriale dello spazio di stato
. L'insieme di non osservabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo
perché sempre più stati iniziali diventano osservabili → il sottospazio di non osservabilità
è il più piccolo insieme di non osservabilità
:
![{\displaystyle X_{NO}=\min _{t\in \left[t_{0},+\infty \right)}{X_{NO}\left(t\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02fed3003cb8a03d9e0cc31b7253e83f84f1f24c)
Il sottospazio di non osservabilità
è pari allo spazio nullo
della matrice di osservabilità
:
![{\displaystyle X_{NO}={\mathcal {N}}{\left(M_{O}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd1a6113979043f894b065edb4e8647127c4439a)
dove la matrice di osservabilità
è definita:
![{\displaystyle M_{O}={\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874e0e9fa7ed6db24691492944b6d14686cf3f11)
Gli stati iniziali
osservabili nell'intervallo
costituiscono il sottospazio di osservabilità
, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di osservabilità
, che per le proprietà dell'algebra lineare è pari allo spazio immagine[1]
della trasposta della matrice di osservabilità
:
![{\displaystyle X_{O}=X_{NO}^{\bot }={\left[{\mathcal {N}}\left(M_{O}\right)\right]}^{\bot }={\mathcal {R}}\left(M_{O}^{T}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}C^{T}&A^{T}C^{T}&\cdots &{A^{T}}^{n-1}C^{T}\end{bmatrix}}\right):\;{\begin{cases}X_{O}\cap X_{NO}=\varnothing \\X_{O}\cup X_{NO}=X\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb5dfbbdcfd5f98c071f2315a97da6aa9113ffa)
La dimensione
del sottospazio di osservabilità
è pari al rango della matrice di osservabilità
:
![{\displaystyle o=\rho {\left(M_{O}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be2952c7c5e529cfb0a21aa5940e31a2e8a7dd6)
L'uscita
è influenzata solo dalla parte osservabile → la parte non osservabile non influenza la parte osservabile. Tuttavia, la parte osservabile può disturbare la parte non osservabile.
Un sistema è completamente osservabile se il sottospazio di osservabilità
coincide con lo spazio di stato
, cioè è possibile stimare qualunque stato iniziale
:
![{\displaystyle X_{O}=X\Leftrightarrow o=\rho \left(M_{O}\right)=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6278988f9209dc4d099b9108afe104f433e5376)
Uno stato
si dice non rilevabile nell'intervallo
se, per qualunque
, il movimento libero
che ha come stato finale
risulta:
![{\displaystyle y_{\ell }\left(t\right)=0,\quad \forall t\in \left[t_{0},t^{*}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb96e85bb04159a7f021ce07a8c6882e175f0ce)
L'insieme di non rilevabilità
è l'insieme di tutti gli stati finali
non rilevabili nell'intervallo
, cioè gli stati finali
che non possono essere stimati (perché il movimento libero
è sempre nullo).
L'insieme di non rilevabilità diventa sempre più piccolo al passare del tempo
perché sempre più stati finali diventano rilevabili → il sottospazio di non rilevabilità
è il più piccolo insieme di non rilevabilità
:
![{\displaystyle X_{ND}=\min _{t\in \left[t_{0},+\infty \right)}{X_{ND}\left(t\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88483223af15a4f8f7a412ca65901fa6ddfbaee)
Un sistema è completamente rilevabile se il sottospazio di rilevabilità
coincide con lo spazio di stato
, cioè è possibile stimare qualunque stato finale
:
![{\displaystyle X_{D}=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55788261398ff017f3065feba9937d8fb2a53e5)
Se il sistema non è completamente rilevabile, gli stati finali che possono essere stimati costituiscono il sottospazio di rilevabilità
, definito come il complemento ortogonale del sottospazio di rilevabilità
:
![{\displaystyle X_{D}=X_{ND}^{\bot }:\;{\begin{cases}X_{D}\cap X_{ND}=\varnothing \\X_{D}\cup X_{ND}=X\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e9abe7e3bbf0a63f7ced4e6ba18f32f75d9cab)
Per i sistemi LTI a tempo continuo, le proprietà di osservabilità e rilevabilità coincidono:
![{\displaystyle X_{O}=X_{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfc9e8ea5bf16998aa9a1085e3a94a0610accad)
Per i sistemi LTI a tempo discreto, in generale il sottospazio di osservabilità
è incluso nel sottospazio di rilevabilità
:
![{\displaystyle X_{O}\subseteq X_{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e348073dd911f71ef90c2bcb3103ff9487e0e48)
Se la matrice
è non singolare (invertibile), l'equivalenza delle due proprietà vale anche per i sistemi LTI a tempo discreto:
![{\displaystyle X_{O}=X_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3dad13fd00510717b4503d1f399ac9c8e8425d7)
Data la rappresentazione di un sistema LTI SISO in termini delle variabili di stato, la sua funzione di trasferimento
è univoca:
![{\displaystyle H\left(s\right)={\frac {b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\ldots +b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{0}}}=C{\left(sI-A\right)}^{-1}B+D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65577dcd17a332dd946b68daffb47afbd720c3ac)
Invece, data la funzione di trasferimento
di un sistema LTI SISO, la rappresentazione in termini delle variabili di stato non è univoca (problema della realizzazione).
Una possibile realizzazione è la forma canonica di osservabilità:
![{\displaystyle H\left(s\right)={\frac {b_{n}s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\ldots +b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{0}}}={\frac {d_{n-1}s^{n-1}+\ldots +d_{0}}{s^{n}+c_{n-1}s^{n-1}+\ldots +c_{0}}}+d_{n}\Rightarrow A={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&-c_{0}\\1&\ddots &\ddots &-c_{1}\\0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}},\;B={\begin{bmatrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{n-1}\end{bmatrix}},\;C={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}},\;D={\begin{bmatrix}d_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4428edb3745fc157d465b0fce76dd90fec62a6d9)
- la matrice
è in forma compagna destra (è la trasposta della matrice
compagna inferiore della forma canonica di raggiungibilità) → il polinomio caratteristico della matrice
è:
![{\displaystyle p\left(A\right)=\det {\left(\lambda I-A\right)}=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +c_{1}\lambda +c_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a3f8e9cedc1bddf68e63da12ee875e6f7af1e2)
- il sistema dinamico individuato dalle matrici
,
,
e
è sempre completamente osservabile.
Il principio di dualità si basa sulle analogie tra le proprietà di raggiungibilità e di osservabilità.
Dato un sistema primale
:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}},\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\;u(t)\in \mathbb {R} ^{p},\;y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e564bf733cfad6221e2875f45e7bfc2da2ce505b)
si può ottenere il sistema duale
scambiando i ruoli degli ingressi e delle uscite:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {w}}(t)=A^{T}w(t)+C^{T}v(t)\\z(t)=B^{T}w(t)+D^{T}v(t)\end{cases}},\quad w(t)\in \mathbb {R} ^{n},\;v(t)\in \mathbb {R} ^{q},\;z(t)\in \mathbb {R} ^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0a0bf667cca4753c646f319ad36e7fcf8fb86)
Si ricorda che il sistema primale
ha il seguente sottospazio di raggiungibilità
:
![{\displaystyle X_{R}^{P}={\mathcal {R}}\left(M_{R}^{P}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1aa89eac36a93e3c8acef8e4d7b031e3a504a6)
e ha il seguente sottospazio di osservabilità
:
![{\displaystyle X_{O}^{P}={\mathcal {R}}\left({\left(M_{O}^{P}\right)}^{T}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}C^{T}&A^{T}C^{T}&\cdots &{A^{T}}^{n-1}C^{T}\end{bmatrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a41042f710d968608c1ccd99bc5e4c186fb9a5f)
Il sottospazio di osservabilità
del sistema duale
coincide con il sottospazio di raggiungibilità
del sistema primale
:
![{\displaystyle X_{O}^{D}={\mathcal {R}}\left({\left(M_{O}^{D}\right)}^{T}\right)={\mathcal {R}}\left({\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}\right)=X_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5c1472e91270c34b66643aa48d010c01a35e3f)
e il sottospazio di raggiungibilità
del sistema duale
coincide con il sottospazio di osservabilità
del sistema primale
:
![{\displaystyle X_{O}^{P}=X_{R}^{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207e1ebf69b45c13a3de2336f083864a2686f3f5)
- Principio di dualità
- Il sistema primale
è completamente raggiungibile se e solo se il sistema duale
è completamente osservabile.
- Il sistema primale
è completamente osservabile se e solo se il sistema duale
è completamente raggiungibile.
- ↑ Lo spazio immagine di una matrice è la combinazione lineare delle sue colonne.