Fondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici

Un sistema dinamico stazionario è in equilibrio se:

• l'ingresso $u(\bullet )$ è pari all'ingresso di equilibrio $\overline{u}$ costante nel tempo;
• lo stato $x(\bullet )$ è pari allo stato di equilibrio $\overline{x}=x\left(0\right)$ costante nel tempo;
• l'uscita $y(\bullet )$ è pari all'uscita di equilibrio $\overline{y}$ costante nel tempo.

La coppia $(\overline{x},\overline{u})$ è detta punto di equilibrio.

Equilibrio di sistemi a tempo continuo

$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))\\ y(t)=g(x(t),u(t))\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0=f(\overline{x},\overline{u})\\ \overline{y}=g(\overline{x},\overline{u})\end{array}$

Se il sistema è lineare:

$\{\begin{array}{c}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}A\overline{x}=-B\overline{u}\\ \overline{y}=C\overline{x}+D\overline{u}\end{array}$

• Se la matrice $A$ è invertibile, cioè $det\left(A\right)\ne 0$, allora esiste uno ed uno solo punto di equilibrio isolato:

  $\{\begin{array}{c}\overline{x}=-A^{-1}B\overline{u}\\ \overline{y}=(-C{A}^{-1}B+D)\overline{u}\end{array}$

• Se la matrice $A$ non è invertibile (singolare), cioè $det\left(A\right)=0$, allora a seconda del particolare sistema:
  • esistono infiniti punti di equilibrio;
    oppure
  • non esiste alcun punto di equilibrio.

Equilibrio di sistemi a tempo discreto

$\{\begin{array}{c}x(k+1)=f(x(k),u(k))\\ y(k)=g(x(k),u(k))\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\overline{x}=f(\overline{x},\overline{u})\\ \overline{y}=g(\overline{x},\overline{u})\end{array}$

Se il sistema è lineare:

$\{\begin{array}{c}x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\\ y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}(I-A)\overline{x}=-B\overline{u}\\ \overline{y}=C\overline{x}+D\overline{u}\end{array}$

• Se la matrice $I-A$ è invertibile, cioè $det(I-A)\ne 0$, allora esiste uno ed uno solo punto di equilibrio isolato:

  $\{\begin{array}{c}\overline{x}={(I-A)}^{-1}B\overline{u}\\ \overline{y}=[C{(I-A)}^{-1}B+D]\overline{u}\end{array}$

• Se la matrice $I-A$ non è invertibile (singolare), cioè $det(I-A)=0$, allora a seconda del particolare sistema:
  • esistono infiniti punti di equilibrio;
    oppure
  • non esiste alcun punto di equilibrio.