Fondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici

Un sistema dinamico stazionario è in equilibrio se:

• l'ingresso $u\left(\bullet \right)$ è pari all'ingresso di equilibrio ${\bar {u}}$ costante nel tempo;
• lo stato $x\left(\bullet \right)$ è pari allo stato di equilibrio ${\bar {x}}=x\left(0\right)$ costante nel tempo;
• l'uscita $y\left(\bullet \right)$ è pari all'uscita di equilibrio ${\bar {y}}$ costante nel tempo.

La coppia $\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)$ è detta punto di equilibrio.

Equilibrio di sistemi a tempo continuo

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right)\\y(t)=g\left(x(t),u(t)\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}0=f\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)\\{\bar {y}}=g\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)\end{cases}}$

Se il sistema è lineare:

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}A{\bar {x}}=-B{\bar {u}}\\{\bar {y}}=C{\bar {x}}+D{\bar {u}}\end{cases}}$

• Se la matrice $A$ è invertibile, cioè $\det {\left(A\right)}\neq 0$, allora esiste uno ed uno solo punto di equilibrio isolato:

  ${\begin{cases}{\bar {x}}=-{A}^{-1}B{\bar {u}}\\{\bar {y}}=\left(-CA^{-1}B+D\right){\bar {u}}\end{cases}}$

• Se la matrice $A$ non è invertibile (singolare), cioè $\det {\left(A\right)}=0$, allora a seconda del particolare sistema:
  • esistono infiniti punti di equilibrio;
    oppure
  • non esiste alcun punto di equilibrio.

Equilibrio di sistemi a tempo discreto

${\begin{cases}x\left(k+1\right)=f\left(x(k),u(k)\right)\\y(k)=g\left(x(k),u(k)\right)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{\bar {x}}=f\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)\\{\bar {y}}=g\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)\end{cases}}$

Se il sistema è lineare:

${\begin{cases}x\left(k+1\right)=Ax(k)+Bu(k)\\y(k)=Cx(k)+Du(k)\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}\left(I-A\right){\bar {x}}=-B{\bar {u}}\\{\bar {y}}=C{\bar {x}}+D{\bar {u}}\end{cases}}$

• Se la matrice $I-A$ è invertibile, cioè $\det {\left(I-A\right)}\neq 0$, allora esiste uno ed uno solo punto di equilibrio isolato:

  ${\begin{cases}{\bar {x}}={\left(I-A\right)}^{-1}B{\bar {u}}\\{\bar {y}}=\left[C{\left(I-A\right)}^{-1}B+D\right]{\bar {u}}\end{cases}}$

• Se la matrice $I-A$ non è invertibile (singolare), cioè $\det {\left(I-A\right)}=0$, allora a seconda del particolare sistema:
  • esistono infiniti punti di equilibrio;
    oppure
  • non esiste alcun punto di equilibrio.