Fondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici

La linearizzazione di un sistema dinamico non lineare stazionario ne approssima, mediante lo sviluppo di Taylor del primo ordine, il comportamento a un modello dinamico lineare, detto sistema dinamico linearizzato.

Linearizzazione di sistemi a tempo continuo

Il sistema dinamico linearizzato può essere espresso in funzione delle perturbazioni $\delta x(t)$, $\delta u(t)$ e $\delta y(t)$ dall'intorno del movimento nominale di riferimento (${\tilde {x}}(t)$, ${\tilde {u}}(t)$, ${\tilde {y}}(t)$):

${\begin{cases}{\dot {x}}(t)=f\left(x(t),u(t)\right)\\y(t)=g\left(x(t),u(t)\right)\\x\left(t=0\right)=x_{0}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{\dot {\delta x}}(t)=A(t)\delta x(t)+B(t)\delta u(t),&x(t)={\tilde {x}}(t)+\delta x(t)\\\delta y(t)=C(t)\delta x(t)+D(t)\delta u(t),&y(t)={\tilde {y}}(t)+\delta y(t)\\\delta x\left(t=0\right)=x\left(t=0\right)-{\tilde {x}}_{0},&u(t)={\tilde {u}}(t)+\delta u(t)\end{cases}}$

dove le matrici $A(t)$, $B(t)$, $C(t)$ e $D(t)$ sono le matrici jacobiane di $f\left(x,u\right)$:

• $A(t)$ e $C(t)$ sono jacobiani di $f$ rispetto ad $x$:

  $A(t)={\left.{\frac {\partial f\left(x,u\right)}{\partial x}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}={\left.{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$

  $C(t)={\left.{\frac {\partial g\left(x,u\right)}{\partial x}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}={\left.{\begin{bmatrix}{\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial g_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial g_{q}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial g_{q}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}\in {\mathbb {R} }^{q\times n}$

• $B(t)$ e $D(t)$ sono jacobiani di $f$ rispetto ad $u$:

  $B(t)={\left.{\frac {\partial f\left(x,u\right)}{\partial u}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}={\left.{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial u_{p}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial u_{p}}}\end{bmatrix}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}\in {\mathbb {R} }^{n\times p}$

  $D(t)={\left.{\frac {\partial g\left(x,u\right)}{\partial u}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}={\left.{\begin{bmatrix}{\frac {\partial g_{1}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial g_{1}}{\partial u_{p}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial g_{q}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial g_{q}}{\partial u_{p}}}\end{bmatrix}}\right|}_{x={\tilde {x}},u={\tilde {u}}}\in {\mathbb {R} }^{q\times p}$

Se il movimento nominale è un punto di equilibrio $\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)$, allora le matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ del sistema linearizzato sono costanti e il sistema linearizzato è LTI:

${\begin{cases}{\dot {\delta x}}(t)=A\delta x(t)+B\delta u(t)\\\delta y(t)=C\delta x(t)+D\delta u(t)\end{cases}}$

Linearizzazione di sistemi a tempo discreto

Il sistema dinamico linearizzato può essere espresso in funzione delle perturbazioni $\delta x(k)$, $\delta u(k)$ e $\delta y(k)$ dall'intorno del movimento nominale (${\tilde {x}}(k)$, ${\tilde {u}}(k)$, ${\tilde {y}}(k)$):

${\begin{cases}x\left(k+1\right)=f\left(x(k),u(k)\right)\\y(k)=g\left(x(k),u(k)\right)\\x\left(k=0\right)=x_{0}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}\delta x\left(k+1\right)=A(k)\delta x(k)+B(k)\delta u(k),&x(k)={\tilde {x}}(k)+\delta x(k)\\\delta y(k)=C(k)\delta x(k)+D(k)\delta u(k),&y(k)={\tilde {y}}(k)+\delta y(k)\\\delta x\left(k=0\right)=x\left(k=0\right)-{\tilde {x}}_{0},&u(k)={\tilde {u}}(k)+\delta u(k)\end{cases}}$

Se il movimento nominale è un punto di equilibrio $\left({\bar {x}},{\bar {u}}\right)$, allora le matrici $A$, $B$, $C$ e $D$ del sistema linearizzato sono costanti e il sistema linearizzato è LTI:

${\begin{cases}\delta x\left(k+1\right)=A\delta x(k)+B\delta u(k)\\\delta y(k)=C\delta x(k)+D\delta u(k)\end{cases}}$