Fondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto

Un sistema dinamico LTI a tempo discreto con ingressi nulli ha equazione di stato:

$x\left(k+1\right)=Ax(k)\Rightarrow x\left(k\right)=x_{\ell }(k)=A^{k}x\left(0\right)=\underbrace {T{\tilde {A}}^{k}T^{-1}} _{A^{k}}x\left(0\right)$

Autovalori semplici

Autovalori reali semplici

I blocchi di ${\tilde {A}}^{k}$ corrispondenti a $n$ autovalori reali distinti $\lambda _{i}$ hanno forma diagonale:

${\begin{bmatrix}{\lambda _{1}}^{k}&0&\cdots &0&0\\0&{\lambda _{2}}^{k}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &{\lambda _{n-1}}^{k}&0\\0&0&\cdots &0&{\lambda _{n}}^{k}\end{bmatrix}}$

e danno origine a modi naturali esponenziali del tipo ${\lambda _{i}}^{k}$, che possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda _{i}\right|<1$ (es. ${0,5}^{k}$, ${\left(-0,5\right)}^{k}$);
• limitati se $\left|\lambda _{i}\right|=1$ (es. $1^{k}=1$, ${\left(-1\right)}^{k}$);
• geometricamente divergenti se $\left|\lambda _{i}\right|>1$ (es. $2^{k}$, ${\left(-2\right)}^{k}$).

Autovalori complessi semplici

I blocchi di ${\tilde {A}}^{k}$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria del tipo $\lambda =\upsilon e^{\pm j\theta }$ hanno la forma:

$\upsilon ^{k}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta k\right)}&\sin {\left(\theta k\right)}\\-\sin {\left(\theta k\right)}&\cos {\left(\theta k\right)}\end{bmatrix}}$

e danno origine a modi naturali oscillanti del tipo $\upsilon ^{k}\cos {\left(\theta k\right)}$ e $\upsilon ^{k}\sin {\left(\theta t\right)}$, che possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon <1$ (es. ${0,5}^{k}\sin {k}$);
• limitati (oscillanti) se $\left|\lambda \right|=\upsilon =1\wedge \arg {\left(\lambda \right)}=\theta \neq 0$ (es. $\sin {k}$);
• geometricamente divergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon >1$ (es. ${1,5}^{k}\sin {k}$).

Autovalori multipli

Autovalori reali multipli

I blocchi di ${\tilde {A}}^{k}$ corrispondenti a un autovalore reale $\lambda$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici del tipo:

${\begin{bmatrix}\lambda ^{k}&k\lambda ^{k}&\cdots &{\frac {k\left(k-1\right)\cdots \left(k-\mu '-2\right)}{\left(\mu '-1\right)!}}\lambda ^{k-\mu '-1}\\0&\lambda ^{k}&\cdots &{\frac {k\left(k-1\right)\cdots \left(k-\mu '-3\right)}{\left(\mu '-2\right)!}}\lambda ^{k-\mu '-2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&e^{\lambda k}\end{bmatrix}}$

e danno origine a modi naturali contenenti $\mu '\leq \mu$ termini del tipo $k^{j}\lambda ^{k}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,0$).

Se $\mu '>1$, i modi naturali contenenti $\mu '$ termini del tipo $k^{j}\lambda ^{k}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,1$) possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda \right|<1$ (es. $k\cdot {0,5}^{k}$, $k\cdot {\left(-0,5\right)}^{k}$);
• polinomialmente divergenti se $\left|\lambda \right|=1$ (es. $1^{k}=k$);
• geometricamente divergenti se $\lambda >1$ (es. $k\cdot {1,5}^{k}$, $k\cdot {\left(-1,5\right)}^{k}$).

Autovalori complessi multipli

I blocchi di ${\tilde {A}}^{k}$ corrispondenti a una coppia di autovalori complessi $\lambda =\upsilon e^{\pm j\theta }$ con molteplicità algebrica $\mu >1$ danno origine a modi naturali oscillanti contenenti $\mu '\leq \mu$ termini del tipo $k^{j}\upsilon ^{k}\cos {\left(\theta k\right)}$ e $k^{j}\upsilon ^{k}\sin {\left(\theta k\right)}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,0$).

Se $\mu '>1$, i modi naturali del tipo $k^{j}\upsilon ^{k}\cos {\left(\theta k\right)}$ e $k^{j}\upsilon ^{k}\sin {\left(\theta k\right)}$ ($j=\mu '-1,\ldots ,1$) possono essere:

• geometricamente convergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon <1$ (es. $k{0,5}^{k}\sin {k}$);
• polinomialmente divergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon =1$ (es. $k\sin {k}$);
• geometricamente divergenti se $\left|\lambda \right|=\upsilon >1$ (es. $k{1,5}^{k}\sin {k}$).