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Fondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato

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Indice del libro

Legge di controllo

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Rappresentazione schematica della legge di controllo

Tramite la legge di controllo è possibile agire sull'ingresso di un sistema dinamico LTI in modo da cambiare gli autovalori della matrice al fine di:

  • rendere asintoticamente stabile un sistema instabile;
  • imporre dei modi naturali convergenti che migliorano alcune proprietà del sistema:
    • smorzamento: ad es. un ascensore non può salire con troppa accelerazione;
    • rapidità di convergenza: ad es. un ascensore quando arriva al piano deve fermarsi senza oscillare su e giù;
  • portare il sistema in uno stato di equilibrio dato.

Per modificare il comportamento dinamico del sistema è necessario applicare un ingresso che dipende dallo stato secondo la legge di controllo per retroazione statica[1] dallo stato:[2]

dove:

  • il contributo rappresenta la retroazione dallo stato (o state feedback), con chiamata matrice dei guadagni;
  • il contributo rappresenta l'azione diretta (o feedforward), con l'ingresso esterno (riferimento) che serve per pilotare il sistema in maniera opportuna.
Problema di assegnazione degli autovalori mediante retroazione statica dallo stato

Intervenendo sulla matrice è possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice ?

Teorema di assegnazione degli autovalori

È possibile modificare in maniera arbitraria tutti gli autovalori della matrice intervenendo sulla matrice se e solo se il sistema è completamente raggiungibile:

In particolare si interviene sulla matrice in modo che gli autovalori della matrice coincidano con numeri fissati arbitrariamente.

Se il sistema non è completamente raggiungibile, la legge di controllo può modificare solo gli autovalori corrispondenti alla sua parte raggiungibile.

Quando l'ingresso segue la legge di controllo, il sistema controllato complessivo ha le seguenti equazioni di ingresso-stato-uscita

Il coefficiente assume il ruolo di guadagno della funzione di trasferimento tra l'uscita e l'ingresso nel sistema controllato complessivo:

Problema della regolazione

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Sistemi LTI a tempo continuo

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L'equilibrio di un sistema controllato, a tempo continuo e asintoticamente stabile è:


Problema della regolazione dell'uscita

È possibile fare in modo che il valore di equilibrio dell'uscita coincida con il valore di equilibrio dell'ingresso ?

Condizione di regolazione

La scelta del coefficiente risolve il problema della regolazione:


Sistemi LTI a tempo discreto

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L'equilibrio di un sistema controllato, a tempo discreto e asintoticamente stabile è:

Condizione di regolazione
  1. Il termine "statica" indica che la matrice è costante.
  2. Per semplicità si considera un solo ingresso () e un solo ingresso esterno ().