Fondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici

Per rappresentare un sistema dinamico termico in termini delle variabili di stato, occorre in ordine:

1. scrivere le equazioni dinamiche di equilibrio termico per ogni corpo omogeneo non termostatato avente capacità termica $C_{i}$ e temperatura assoluta $\theta _{i}$;
2. introdurre una variabile di stato per ogni corpo omogeneo non termostatato di capacità termica $C_{i}$, scegliendo in particolare la temperatura assoluta $\theta _{i}$;
3. associare una variabile di ingresso ad ogni portata di calore esterna applicata al sistema termico, e ad ogni temperatura assoluta di un corpo omogeneo ideale termostatato (in quanto imposta dal mondo esterno);
4. ricavare le equazioni di stato del tipo:

   ${\dot {x}}_{i}\left(t\right)=f_{i}\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

a partire dalle precedenti equazioni dinamiche di equilibrio termico;

5. ricavare le equazioni di uscita del tipo:

$y_{k}\left(t\right)=g_{k}\left(t,x\left(t\right),u\left(t\right)\right)$

Equazioni dinamiche di equilibrio termico

Per ogni corpo omogeneo ideale non termostatato (= la temperatura assoluta $\theta _{i}$ non è imposta dall'esterno) di capacità termica $C_{i}$ vale la legge di equilibrio termico delle portate di calore:

$C_{i}{\dot {\theta }}_{i}\left(t\right)=\sideset {}{_{k}}\sum {p_{k}^{\text{est}}\left(t\right)}-\sideset {}{_{j}^{j\neq i}}\sum {p_{ij}^{\text{int}}\left(t\right)}$

Il segno meno indica che le portate di calore interne $p_{ij}^{\text{int}}$ trasmettono il calore agli altri corpi $C_{j}$, riducendo la portata termica d'inerzia di $C_{i}$.

Portate di calore esterne

Le portate di calore esterne $p_{k}^{\text{est}}$ tengono conto dell'azione del mondo esterno sul corpo $C_{i}$ e compaiono con:

• segno positivo se forniscono calore al corpo (generatori di calore, effetto Joule, combustione);
• segno negativo se prelevano calore dal corpo (refrigeratori, pompe di calore).

L'equazione dinamica della temperatura di un corpo puntiforme di capacità termica $C$ dovuto a una portata di calore $p\left(t\right)$ applicata è:

$C{\dot {\theta }}\left(t\right)=p(t)$

Portate di calore interne

Le portate di calore interne $p_{ij}^{\text{int}}$ tengono conto dell'interazione tra il corpo $C_{i}$ considerato e gli altri corpi $C_{j}$ tramite conduttori termici ideali di conduttanza termica $K_{ij}$:

$p_{ij}^{\text{int}}(t)=K_{ij}\left[\theta _{i}(t)-\theta _{j}(t)\right]$