Fondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI

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Indice del libro

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo continuo[modifica]

La legge secondo cui evolve la perturbazione dello stato di un sistema LTI a tempo continuo, con ingresso costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale , e quindi della perturbazione dello stato iniziale:

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

La stabilità del sistema dipende dagli autovalori della matrice di stato . Un modo naturale può essere:

  • esponenzialmente convergente se ;
  • limitato se e ;
  • polinomialmente divergente se e ;
  • esponenzialmente divergente se .

L'assenza di autovalori nulli garantisce l'invertibilità della matrice :

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

Criteri di stabilità[modifica]

Instabilità[modifica]

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o esponenzialmente).

Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo continuo è instabile se almeno un modo naturale è esponenzialmente divergente, cioè se almeno un autovalore ha parte reale positiva:

Stabilità semplice[modifica]

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con .

Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo continuo è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con :[1]

Stabilità asintotica[modifica]

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (esponenzialmente).

Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono esponenzialmente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori hanno parti reali negative:

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale .

Caso critico[modifica]

Dato un sistema LTI a tempo continuo, se:

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

Stabilità interna di sistemi LTI a tempo discreto[modifica]

La legge secondo cui evolve la perturbazione dello stato di un sistema LTI a tempo discreto, con ingresso costante, continua a valere al variare dello stato iniziale nominale , e quindi della perturbazione dello stato iniziale:

perciò la proprietà di stabilità riguarda l'intero sistema e non i singoli movimenti.

La stabilità del sistema dipende dagli autovalori della matrice di stato . Un modo naturale può essere:

  • geometricamente convergente se ;
  • limitato se e ;
  • polinomialmente divergente se e ;
  • geometricamente divergente se .

L'assenza di autovalori diversi da 1 garantisce l'invertibilità della matrice :

e quindi, nel caso l'ingresso nominale sia pari all'ingresso di equilibrio costante, esiste un solo punto di equilibrio isolato:

Criteri di stabilità[modifica]

Instabilità[modifica]

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se e solo se almeno un modo naturale è divergente (polinomialmente o geometricamente).

Criterio di instabilità

Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se almeno un modo naturale è geometricamente divergente, cioè se almeno un autovalore ha modulo maggiore di 1:

Stabilità semplice[modifica]

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se e solo se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con .

Criterio di stabilità semplice

Un sistema LTI a tempo discreto è semplicemente stabile se nessuno dei modi naturali è divergente e almeno un modo naturale è limitato con :[1]

Stabilità asintotica[modifica]

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono convergenti (geometricamente).

Criterio di stabilità asintotica

Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti i modi naturali sono geometricamente convergenti, cioè se e solo se tutti gli autovalori hanno moduli minori di 1:

Un sistema LTI asintoticamente stabile è sempre globalmente asintoticamente stabile, perché la perturbazione evolve secondo una legge che vale per qualsiasi perturbazione iniziale .

Caso critico[modifica]

Dato un sistema LTI a tempo discreto, se:

allora il sistema può risultare semplicemente stabile o instabile, a seconda se siano presenti dei modi polinomialmente divergenti.

Note[modifica]

  1. 1,0 1,1 Si ricorda: .