Fondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo

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Indice del libro

Il comportamento dinamico di un sistema LTI a tempo continuo è descritto dalle equazioni di ingresso-stato-uscita:

Movimento dello stato
  • movimento libero : movimento dello stato con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale ;
  • movimento forzato : movimento dello stato di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso .
Movimento dell'uscita (risposta del sistema)
  • risposta libera : movimento dell'uscita con ingressi nulli, dipende solo dallo stato iniziale ;
  • risposta forzata : movimento dell'uscita di un sistema inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle), dipende solo dall'ingresso .

Analisi nel dominio del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo[modifica]

Formula di Lagrange

Analisi nel dominio di Laplace di sistemi dinamici LTI a tempo continuo[modifica]

La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso-stato-uscita nel dominio di Laplace e calcolando esplicitamente e :

dove:

  • la matrice è detta matrice di trasferimento;
  • la matrice deve avere il determinante diverso da 0 perché sia invertibile, quindi non sono ammessi al più valori distinti di che sono gli zeri del polinomio caratteristico di grado :
  • le matrici , , e sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte (rapporto di polinomi) nella variabile complessa (a causa della matrice inversa).

Funzione di trasferimento[modifica]

Per un sistema a ingressi e uscite, la matrice di trasferimento è costituita da una matrice a righe e colonne di funzioni razionali della variabile :

La funzione di trasferimento tra l'uscita e l'ingresso è calcolabile supponendo nulli tutti gli altri ingressi:

Se il sistema è a un ingresso () e un'uscita () (SISO), allora la matrice di trasferimento si dice funzione di trasferimento.

Forma polinomiale

In un sistema fisicamente realizzabile la funzione di trasferimento è strettamente propria: ha un numero di zeri inferiore al numero di poli ().

Forma "zeri e poli"

dove è il guadagno infinito e dipende da (eccedenza dei poli rispetto agli zeri):

Forma fattorizzata di Bode

Rappresentazione di singolarità complesse[modifica]

Conjugate complex number representation.png

Per ogni radice complessa esiste sempre la radice complessa coniugata :

dove:

  • la pulsazione naturale è la distanza dall'origine:
  • lo smorzamento è il seno dell'angolo formato con l'asse immaginario:
    • se lo smorzamento è positivo, le radici complesse si trovano nel semipiano di sinistra;
    • se lo smorzamento è negativo, le radici complesse si trovano nel semipiano di destra.
Forma "zeri e poli"

Le radici complesse coniugate si scrivono preferibilmente nella forma con pulsazione naturale e smorzamento.