Fondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

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CopertinaFondamenti di automatica2/Copertina
  • Introduzione e modellistica dei sistemi
  1. Classificazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Classificazione di sistemi dinamici
  2. Modellistica di sistemi dinamici elettriciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettrici
  3. Modellistica di sistemi dinamici meccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici meccanici
  4. Modellistica di sistemi dinamici elettromeccaniciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici elettromeccanici
  5. Modellistica di sistemi dinamici termiciFondamenti di automatica2/Modellistica di sistemi dinamici termici
  • Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
  1. Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio di Laplace e del tempo di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  2. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo continuo
  3. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discretoFondamenti di automatica2/Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
  4. Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi nel dominio del tempo e della trasformata Zeta di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  5. Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discretoFondamenti di automatica2/Analisi modale di sistemi dinamici LTI a tempo discreto
  • Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
  1. Equilibrio di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Equilibrio di sistemi dinamici
  2. Linearizzazione di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Linearizzazione di sistemi dinamici
  3. Stabilità interna di sistemi dinamiciFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici
  4. Stabilità interna di sistemi dinamici LTIFondamenti di automatica2/Stabilità interna di sistemi dinamici LTI
  5. Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazioneFondamenti di automatica2/Stabilità dell'equilibrio di sistemi dinamici non lineari per linearizzazione
  • Proprietà strutturali e leggi di controllo
  1. Raggiungibilità e controllabilitàFondamenti di automatica2/Raggiungibilità e controllabilità
  2. Retroazione statica dallo statoFondamenti di automatica2/Retroazione statica dallo stato
  3. Osservabilità e rilevabilitàFondamenti di automatica2/Osservabilità e rilevabilità
  4. Stima dello stato e regolatore dinamicoFondamenti di automatica2/Stima dello stato e regolatore dinamico
  • Stabilità esterna e analisi della risposta
  1. Stabilità esterna e risposta a regimeFondamenti di automatica2/Stabilità esterna e risposta a regime
  2. Risposte di sistemi del I e II ordineFondamenti di automatica2/Risposte di sistemi del I e II ordine

Premesse[modifica]

Ipotesi[modifica]

Si considera un sistema dinamico SISO, LTI e a tempo continuo, con una certa funzione di trasferimento:

e si restringe l'attenzione ai casi:

  • = polinomio di I grado → sistema del I ordine;
  • = polinomio di II grado → sistema del II ordine;

e inoltre si suppone strettamente propria (= il grado di è strettamente minore del grado di ).

Si considerano due casi per l'ingresso :

  • un ingresso impulsivo:
  • un ingresso a gradino:

Si ipotizza che il sistema sia inizialmente a riposo (condizioni iniziali nulle):

Richiami[modifica]

Teorema del valore iniziale[modifica]

Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti (); in particolare occorre che sia strettamente propria.

Teorema del valore finale[modifica]

Condizioni al contorno

Entrambi i limiti devono esistere ed essere finiti (); in particolare occorre che non abbia poli nel semipiano destro chiuso (= asse immaginario compreso) → tutti i poli di devono avere parte reale strettamente negativa.

Risposte di sistemi del I ordine[modifica]

Si considera un sistema del I ordine con funzione di trasferimento avente un polo in :

dove è il guadagno.

Risposta a un ingresso impulsivo[modifica]

Risposta di un sistema del I ordine a un ingresso impulsivo al variare del polo

Applicando un ingresso impulsivo :

la risposta del sistema è:

Valore iniziale della risposta

Il teorema del valore iniziale si può applicare perché è strettamente propria:

Condizioni di stabilità esterna[modifica]

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se .

Valore a regime della risposta

Il valore a regime della risposta del sistema è il valore a cui essa converge nel tempo:

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

  • se :
  • se :

Risposta al gradino[modifica]

Risposta di un sistema del I ordine a un ingresso a gradino al variare del polo

Applicando un ingresso a gradino :

la risposta del sistema è:

  • se :
  • se :
Valore iniziale della risposta

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché è strettamente propria:

Condizioni di stabilità esterna[modifica]

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se .

Valore a regime della risposta

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

Parametri tipici
  • la costante di tempo è l'istante di tempo in cui la risposta raggiunge il 63% del valore a regime :
  • il tempo di salita è il tempo necessario perché la risposta passi dal 10% al 90% del valore di regime ;
  • il tempo di assestamento rispetto al percentile è il tempo oltre il quale la risposta non esce più dalla fascia :
    • a la risposta raggiunge il 95% del valore a regime :

Risposta al gradino di sistemi del II ordine[modifica]

Caso 1: 2 poli reali distinti senza zeri[modifica]

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento avente due poli reali distinti e :

Applicando un ingresso a gradino :

la risposta del sistema è:

Valore iniziale della risposta

Si può applicare il teorema del valore iniziale perché è strettamente propria:

Condizioni di stabilità esterna[modifica]

Risposta di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali distinti e senza zeri a un ingresso a gradino al variare della costante di tempo equivalente

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se e .

Valore a regime della risposta

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

Parametri tipici
  • costante di tempo equivalente :
    all'aumentare della costante di tempo equivalente si riduce il tempo di salita della risposta

Caso 2: 2 poli reali distinti e 1 zero reale[modifica]

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento avente due poli reali distinti e e uno zero reale :

Applicando un ingresso a gradino :

la risposta del sistema è:

Condizioni di stabilità esterna[modifica]

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se e .

Effetti dello zero
  • : al diminuire di si riduce il tempo di salita (quindi si riduce la costante di tempo equivalente ) → è possibile definire una costante di tempo associata allo zero :
  • : al diminuire di aumenta la sovraelongazione (risposta non monotona);
  • : al diminuire di aumenta la sottoelongazione (risposta inversa) che ha un effetto di ritardo sulla risposta.

Caso 3: 2 poli complessi coniugati distinti senza zeri[modifica]

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento avente due poli complessi coniugati distinti e :

dove:

  • è il guadagno;
  • la pulsazione naturale è la distanza dall'origine:
  • lo smorzamento è il seno dell'angolo formato con l'asse immaginario:

Applicando un ingresso a gradino :

la risposta del sistema è:

Condizioni di stabilità esterna[modifica]

Risposta di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino al variare dello smorzamento
Risposta di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli complessi coniugati distinti e senza zeri a un ingresso a gradino al variare della pulsazione naturale

Il sistema è BIBO-stabile se e solo se non ha poli nel semipiano destro chiuso, cioè se .

Se il sistema è BIBO-stabile la risposta del sistema è:

Valore a regime della risposta

Se il sistema è BIBO-stabile si può applicare il teorema del valore finale:

Parametri tipici
  • costante di tempo :
  • il valore di picco è il valore istantaneo massimo della risposta assunto al tempo di picco :
Valori tipici della sovraelongazione massima in funzione dello smorzamento
  • sovraelongazione massima :
  • sovraelongazione massima percentuale :
    fissata una pulsazione naturale , al diminuire dello smorzamento aumenta la sovraelongazione della risposta
  • il tempo di salita è il primo istante in cui la risposta raggiunge il valore a regime :
  • il tempo di salita è il tempo necessario perché la risposta passi dal 10% al 90% del valore di regime :
    fissato uno smorzamento , al diminuire della pulsazione naturale aumenta il tempo di salita della risposta
  • il tempo di assestamento rispetto al percentile è il tempo oltre il quale la risposta non esce più dalla fascia :
    • a la risposta raggiunge il 95% del valore a regime :

Caso 4: 2 poli reali coincidenti senza zeri[modifica]

Si considera un sistema del II ordine con funzione di trasferimento avente due poli reali coincidenti :

Condizioni di stabilità esterna[modifica]

Risposta di un sistema del II ordine BIBO-stabile con poli reali coincidenti e senza zeri a un ingresso a gradino al variare della costante di tempo

Applicando un ingresso a gradino :

la risposta del sistema:

è monotona e non presenta oscillazioni, sottoelongazioni o sottoelongazioni.

Valori tipici
Parametri tipici
  • costante di tempo : ()
  • valore a regime ;
  • tempo di salita dal 10% al 90%;
    all'aumentare della costante di tempo aumenta il tempo di salita della risposta
  • tempo di assestamento rispetto al percentile .