Analisi complessa/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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dove I: = (0,1). |
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L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. |
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero |
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:<math>z \in \mathbb{C}=x+Iy=(x,y)</math> |
:<math>z \in \mathbb{C}=x+Iy=(x,y)</math> |
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:<math>z =\rho e^{I\theta}\!</math> |
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==Proprietà== |
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;Teorema 1.1.2 |
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Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math> |
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math> |
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Versione delle 20:06, 12 feb 2009
- Definizione 1.1.1.
- Definiamo l'insieme dei numeri complessi come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali con somma e prodotto definiti come
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
dove I: = (0,1).
L'analogia tra ed (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
definiamo:
- il coniugato
- la parte reale
- la parte immaginaria
- il modulo
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si può quindi scrivere come
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. è il modulo di e l' argomento , che è definito a meno di multipli interi di . Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in , .
Definendo poi tramite la formula di Eulero
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
Proprietà
- Teorema 1.1.2
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano , con e
Inoltre si nota che soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare uno spazio metrico.