Analisi complessa/Integrale di Riemann: differenze tra le versioni
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Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math>. |
Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math>. |
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;Definzione 4.1.1.:Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math> un insieme finito di punti,<math>P</math>, tali che |
;Definzione 4.1.1.:Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con <math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math> un insieme finito di punti,<math>P</math>, tali che |
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::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math> |
::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math> |
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:Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1\!</math>. |
:Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1\!</math>. |
Versione delle 11:41, 12 apr 2010
Ricordiamo per cominciare la definizione dell'integrale di Riemann, oltre a qualche teorema. Ci limiteremo ad integrali su intervalli di .
- Definzione 4.1.1.
- Sia dato un intervallo , con . Si definisce partizione di un insieme finito di punti,, tali che
- Scriveremo inoltre .
Se ora è una funzione reale limitata definita su , e una partizione di poniamo
dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore.
Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile ( ), e definiamo l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali,
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono tali che per ogni , gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.
Teorema
se e solo se per ogni esiste una partizione tale che
Se tale condizione è verificata per la partizione e allora