Meccanica analitica/Cinematica relativistica

Come abbiamo accennato nel precedente paragrafo, possiamo descrivere le linee di universo come funzioni del tempo proprio $\tau$. Ora iniziamo a fare considerazioni di meccanica relativistica, introducendo le grandezze fondamentali con le quali si studiano eventi nello spazio di Minkowsky. Breve precisazione di notazione: l'indice $i$ sulle coordinate dei quadrivettori indica tutte le coordinate, quindi $i=0,1,2,3$, al contrario, l'indice $\alpha$ indica solo le coordinate spaziali, ovvero $\alpha =1,2,3$.

Definizione

Siano le coordinate di un quadrivettore $(x_{0}=ct,x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z)$, si definisce quadrivelocità:

$U_{i}={\frac {dx_{i}(\tau )}{d\tau }}0$

Notiamo che la quadrivelocità non può essere di genere spazio: se così fosse, infatti, avremmo che la sua norma $|{\underline {U}}|>c$ supera la velocità della luce, e non è possibile. Risulta quindi essere un vettore di tipo tempo e, quindi, interno al cono di luce.

Data la velocità classica di coordinate $v_{\alpha }=v_{x},v_{y},v_{z}$, scriviamo le coordinate del vettore ${\underline {U}}$ in funzione di queste. Ricordiamo la relazione delle trasformazioni di Lorentz:

$dt={\frac {d\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad \Rightarrow \,d\tau =dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

Da questo, sostituendo il valore trovato di $d\tau$ nella definizione di quadrivelocità, otteniamo:

$U_{i}={\frac {dx_{i}(\tau )}{d\tau }}={\frac {dx_{i}(\tau )}{dt}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\begin{cases}&U_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\\&U_{\alpha }={\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{cases}}$

Inoltre, la norma quadra della quadrivelocità risulta essere costante:

${\begin{aligned}|{\underline {U}}|^{2}&=U_{0}^{2}-U_{1}^{2}-U_{2}^{2}-U_{3}^{2}=\left({\frac {d(ct)}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {dz}{d\tau }}\right)^{2}=\\&={\frac {(c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2})}{d\tau ^{2}}}={\frac {ds^{2}}{d\tau ^{2}}}=c^{2}{\frac {d\tau ^{2}}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\end{aligned}}$

Come anticipato, quindi, la norma quadra è costante, positiva, e quindi la quadrivelocità è un vettore di genere tempo in ogni sistema di riferimento inerziale.

La scelta di definire la quadrivelocità è portata dall'utilizzo delle trasformazioni di Lorentz. La matrice di trasformazione, infatti, è una matrice $4\times 4$, mentre la velocità classica è un vettore in tre coordinate spaziali. Inoltre, la comodità di lavorare in uno spazio quadri-dimensionale rende comodo lo studio di come variano tempo e spazio lungo tutto lo spazio.

Definizione

Si definisce il vettore quadriaccelerazione:

${\underline {A}}={\frac {d{\underline {U}}}{d\tau }}$

Notiamo che, posto $U_{\alpha }={\frac {v_{alpha}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, possiamo esplicitare le componenti $A_{\alpha }$ della quadriaccelerazione:

${\begin{aligned}A_{\alpha }&={\frac {dU_{\alpha }}{d\tau }}={\frac {dU_{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\\&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left({\frac {\frac {dv_{\alpha }}{dt}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+v_{\alpha }\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {v_{\alpha }^{2}}{c^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\cdot {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {dv_{\alpha }v_{\alpha }}{dt}}\right)=\\&={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left({\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-{\frac {v_{\alpha }^{2}}{c^{2}}}{\frac {a}{\sqrt {\left(1-{\frac {v_{\alpha }^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

In relatività, si usa passare a due parametri noti, $\beta$ e $\gamma$, che valgono:

$\beta ={\frac {v}{c}}\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Utilizzando questi parametri, l'espressione qui sopra può essere scritta in forma più elegante (come molte altre espressioni della teoria).

Paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è un semplice esperimento mentale proposto da Einstein. Alla luce di ciò che abbiamo detto finora, potrà essere chiaro.

Il problema è semplice: due gemelli vengono messi su due astronavi e sottoposti agli stessi effetti accelerativi (ovvero subiscono le stesse variazioni di velocità), solo che uno dei due trascorre nello spazio più tempo, viaggiando a velocità più elevate di quelle della Terra. Quindi, un gemello atterra prima dell'altro e, una volta arrivati entrambi a terra, confrontano i loro tempi propri: il risultato finale è che, essendo stato uno dei due più tempo nello spazio a velocità elevate, questo sarà più giovane del fratello.