Meccanica lagrangiana
- Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
- Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
- Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
- La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
- Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
- Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
- Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
- Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
- Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
- Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
- Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
- Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
- Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
- Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
- Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
- Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
- Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
- Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
- Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
- Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
- La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
- La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
- Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
- Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
- Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
- Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
- Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
- Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
- Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Come per la meccanica lagrangiana, anche nella meccanica hamiltoniana si possono trovare quantità che si conservano, ovvero che sono costanti nel tempo. Consideriamo per esempio due funzioni e ; dal modulo precedente possiamo scrivere le loro derivate totali:
Ora, consideriamo appunto il caso in cui , ovvero le due funzioni sono costanti nel tempo. Possiamo trovare una relazione tra le due che resti ancora costante. Prima, però, ricordiamo che se vale allora varranno:
Dimostriamo ora che, sotto queste condizioni, si ha .
Esplicitiamo il termine da dimostrare e svolgiamo i calcoli:
L'uguaglianza è resa possibile grazie alla bilinearità delle parentesi poissoniane; ora, ricordando le condizioni iniziali e le relazioni scritte sopra, possiamo scrivere:
Il passaggio dal primo al secondo passaggio è reso possibile attraverso la proprietà dell'antisimmetria, dove ; l'ultima riga, come possiamo notare, è proprio un'identità di Jacobi, e quindi, è vero che .
Attraverso le parentesi di Poisson si può definire una relazione tra due funzioni:
Definizione
Vediamo due casi immediati di quantità compatibili.
Il primo è quando e sono due quantità completamente scollegate tra loro, per esempio:
Se andiamo a esplicitare la parentesi di poisson tra le due:
Questo perché, per capita o che la sia indipendente a o , o il contrario, ottenendo derivate parziali nulle.
Il secondo caso è quando , ovvero è una funzione di . Esplicitando anche qui la parentesi:
I termini nella parentesi sono esattamente uguali (per il teorema della derivata di funzioni composte).
La domanda, lecita, che può venire spontanea è: perché ci interessano così tanto le quantità compatibili? La risposta risiede nel fatto che il formalismo hamiltoniano è la base formale della meccanica quantistica, e in questa le parentesi di Poisson hanno la funzione di commutatori. In quantistica, se due quantità non commutano, ovvero la loro parentesi non è nulla, allora non è possibile determinarle con precisione arbitraria. Da qui deriva il principio di indeterminazione di Heisenberg: gli operatori (in meccanica quantistica non si parla più di coordinate o variabili, ma di operatori) posizione e quantità di moto non commutano, ovvero:
Ed è per questo motivo che, se conosco con altissima precisione la posizione, non so quasi nulla della velocità e viceversa. Il formalismo hamiltoniano, come vedremo anche per l'azione, è importante in fisica proprio per il suo utilizzo in meccanica quantistica dove, sebbene il paradigma di base sia completamente diverso (l'invito è a cercare informazione sull'epistemologia di Kuhn), è rimasto qualcosa dalla meccanica classica: la struttura formale. Fondamentalmente, è anche per questo che, dopo un secolo e mezzo, si studia ancora la teoria di Hamilton.