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Meccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson

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Indice del libro

Come per la meccanica lagrangiana, anche nella meccanica hamiltoniana si possono trovare quantità che si conservano, ovvero che sono costanti nel tempo. Consideriamo per esempio due funzioni e ; dal modulo precedente possiamo scrivere le loro derivate totali:

Ora, consideriamo appunto il caso in cui , ovvero le due funzioni sono costanti nel tempo. Possiamo trovare una relazione tra le due che resti ancora costante. Prima, però, ricordiamo che se vale allora varranno:

Dimostriamo ora che, sotto queste condizioni, si ha .

Esplicitiamo il termine da dimostrare e svolgiamo i calcoli:

L'uguaglianza è resa possibile grazie alla bilinearità delle parentesi poissoniane; ora, ricordando le condizioni iniziali e le relazioni scritte sopra, possiamo scrivere:

Il passaggio dal primo al secondo passaggio è reso possibile attraverso la proprietà dell'antisimmetria, dove ; l'ultima riga, come possiamo notare, è proprio un'identità di Jacobi, e quindi, è vero che .

Quantità compatibili

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Attraverso le parentesi di Poisson si può definire una relazione tra due funzioni:

Definizione

Due quantità e si dicono compatibili se

Vediamo due casi immediati di quantità compatibili.

Il primo è quando e sono due quantità completamente scollegate tra loro, per esempio:

Se andiamo a esplicitare la parentesi di poisson tra le due:

Questo perché, per capita o che la sia indipendente a o , o il contrario, ottenendo derivate parziali nulle.

Il secondo caso è quando , ovvero è una funzione di . Esplicitando anche qui la parentesi:

I termini nella parentesi sono esattamente uguali (per il teorema della derivata di funzioni composte).

La domanda, lecita, che può venire spontanea è: perché ci interessano così tanto le quantità compatibili? La risposta risiede nel fatto che il formalismo hamiltoniano è la base formale della meccanica quantistica, e in questa le parentesi di Poisson hanno la funzione di commutatori. In quantistica, se due quantità non commutano, ovvero la loro parentesi non è nulla, allora non è possibile determinarle con precisione arbitraria. Da qui deriva il principio di indeterminazione di Heisenberg: gli operatori (in meccanica quantistica non si parla più di coordinate o variabili, ma di operatori) posizione e quantità di moto non commutano, ovvero:

Ed è per questo motivo che, se conosco con altissima precisione la posizione, non so quasi nulla della velocità e viceversa. Il formalismo hamiltoniano, come vedremo anche per l'azione, è importante in fisica proprio per il suo utilizzo in meccanica quantistica dove, sebbene il paradigma di base sia completamente diverso (l'invito è a cercare informazione sull'epistemologia di Kuhn), è rimasto qualcosa dalla meccanica classica: la struttura formale. Fondamentalmente, è anche per questo che, dopo un secolo e mezzo, si studia ancora la teoria di Hamilton.