Meccanica analitica/Dinamica relativistica

Dopo aver definito le grandezze fondamentali della cinematica, lo studio si sposta alla dinamica dei corpi in relatività. Procediamo con calma, ragionando su quel che abbiamo finora osservato. Possiamo iniziare col dire che i quadrivettori velocità e accelerazione sono ortogonali secondo Minkowsky, ovvero il loro prodotto scalare di Minkowsky è nullo ${\underline {U}}\cdot {\underline {A}}=0$. Poiché vale $|{\underline {U}}|^{2}=c^{2}$, possiamo anche scrivere:

$0={\frac {d|{\underline {U}}|^{2}}{d\tau }}={\frac {dU\cdot U}{d\tau }}=2\cdot U\cdot {\frac {dU}{d\tau }}=2U\cdot A=0$

Ricordiamo che la derivata di $c^{2}$ è 0 perché è una costante.

Detto questo, e ricordando che $U$ è un vettore di genere tempo, la quadriaccelerazione $A$ risulta essere di genere spazio.

Quantità di moto e energia a riposo

Definizione

Si definisce massa propria di un copro la massa che il corpo ha nel sistema di riferimento rispetto a cui è in quiete. Si indica con $m_{0}$. Per i sistemi di riferimento non inerziali, vale la stessa osservazione fatta per il tempo proprio.

Questa definizione è molto ambigua. Che senso ha descrivere la massa propria? Ovvero, la massa non è costante in ogni sistema di riferimento? Questa era l'ipotesi posta da Newton per poter studiare la dinamica degli oggetti, ma, in relatività, cade anche questo assunto: la massa varia in base al sistema di riferimento in cui la si misura. Passiamo alla definizione di quantità di moto relativistica.

Definizione

Si definisce quadrivettore quantità di moto:

${\underline {P}}=m_{0}\cdot {\underline {U}}$

Note le coordinate della quadrivelocità, possiamo esplicitare le coordinate della quantità di moto. Le sue coordinate spaziali valgono:

$P_{\alpha }=m_{0}{\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=v_{\alpha }\cdot m$

Dove $m$ è la massa vista da un altro sistema di riferimento, e si chiama massa dinamica o relativa. L'espressione generale è $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m(v)$ ed è una funzione della velocità del sistema di riferimento in cui la si misura.

La componente temporale della quantità di moto, invece, vale

$P_{0}={\frac {cv_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=c\cdot m$

Definizione

Si definisce energia a riposo e si indica con $E_{0}$:

$E_{0}=cP_{0}={\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}c=mc^{2}$

L'energia a riposo indica che, solo perché esiste una massa, questa ha una sua energia a riposo. Questa energia, come possiamo notare, ha un valore molto alto. È stato sviluppato un modo per poterla sfruttare, ed è la fissione nucleare, che riesce a trasformare questa energia a riposo di atomi radioattivi in energia utilizzabile. Inoltre, l'espressione dell'energia a riposo ci dice anche che la massa è solo un'altra forma di esprimere l'energia.

Leggi del moto

Passiamo ora a studiare le leggi della dinamica che regolano il moto.

Definizione

Si definisce quadriforza:

${\underline {K}}=m_{0}{\underline {A}}$

Questa, se è nota la definizione operativa di ${\underline {K}}$, è già un'equazione del moto. Tuttavia, la definizione operativa della quadriforza non ci interessa. Ricordando che la teoria della relatività resta ancora una teoria deterministica (a differenza della teoria quantistica), possiamo passare dalla quadriforza alla velocità e alla forza classiche del nostro sistema di riferimento. Infatti:

${\underline {K}}=m_{0}{\underline {A}}=m_{0}{\frac {dU}{d\tau }}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Nell'ultima uguaglianza abbiamo sfruttato le trasformazioni di Lorentz per cui $dt={\frac {d\tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$. Da questa ricaviamo che:

${\underline {K}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}$

Vediamo ora le componenti spaziali:

$K_{\alpha }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=F_{\alpha }=m_{0}{\frac {dU_{\alpha }}{dt}}=m_{0}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)$

Formalmente, questa è uguale alla legge di Newton, con la sottile differenza che la massa dipende dalla velocità. Possiamo infine scrivere:

$F_{alpha}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}v_{\alpha }\right)={\frac {d}{dt}}{\big (}P_{\alpha }{\big )}$

La componente temporale, invece, posto ${\underline {U}}\cdot {\underline {A}}=0\rightarrow {\underline {U}}\cdot {\underline {K}}=0$, vale:

$U_{0}K_{0}-U_{\alpha }K_{\alpha }=0\quad \Rightarrow \,k_{0}={\frac {U_{\alpha }k_{\alpha }}{U_{0}}}$

Ricordando l'espressione di $U_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, riprendiamo la generica espressione di ${\underline {K}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{0}{\frac {dU}{dt}}$ e vediamo quanto vale questa per la coordinata temporale:

$K_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=m_{0}{\frac {d}{dt}}{\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,\rightarrow \,cK_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {dE}{dt}}$

Valgono sempre $U_{\alpha }={\frac {v_{\alpha }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ e $U_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$; da queste otteniamo che ${\frac {U_{\alpha }}{U_{0}}}={\frac {v_{\alpha }}{c}}$; il nostro obiettivo è sempre quello di esplicitare $K_{0}={\frac {U_{\alpha }}{U_{0}}}K_{\alpha }$; andiamo a sostituire questo valore nell'espressione trovata qui sopra:

$c{\frac {U_{\alpha }}{U_{0}}}\underbrace {\left(K_{\alpha }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)} _{F_{\alpha }}={\frac {dE}{dt}}\,\Rightarrow \,v_{\alpha }F_{\alpha }={\frac {dE}{dt}}$

Che è il rispettivo del teorema delle forze vive in meccanica classica. Notiamo anche che $v_{\alpha }\cdot F_{\alpha }=v\cdot F$ ovvero il prodotto scalare euclideo. Abbiamo ottenuto due leggi fondamentali, simili alle leggi della meccanica classica:

${\begin{aligned}&F_{\alpha }={\frac {dP_{\alpha }}{dt}}\\&F_{\alpha }v_{\alpha }={\frac {dE}{dt}}\end{aligned}}$

Ricordiamo che queste valgono nella teoria della relatività, dove abbiamo considerato $E=m(v)c^{2}$.

Inoltre, ci sono due regole generali che dominano la dinamica relativistica: come la dinamica classica, valgono sia la conservazione della quantità di moto che la conservazione dell'energia, ovvero:

${\begin{aligned}&\sum _{h=1}^{n}m_{0h}{\underline {U}}_{h}=\sum _{h'=1}^{n}m_{0h'}{\underline {U}}_{h'}\\&\sum _{h=1}^{n}m_{h}c^{2}=\sum _{h'=1}^{n}m_{h'}c^{2}\end{aligned}}$

La conservazione della quantità di moto, ad esempio, permette di rilevare le particelle neutre. La presenza dei neutrini, infatti, è stata ipotizzata proprio per una violazione della conservazione della quantità di moto: prima di affermare che non sia vero, infatti, si è ipotizzato che esistessero piccolissime particelle neutre, i neutrini appunto, che non fossero osservabili da rilevatori magnetici ma che prendessero una piccola parte della quantità di moto al decadere di una particella, così da equilibrare il totale.