Meccanica lagrangiana
- Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
- Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
- Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
- La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
- Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
- Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
- Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
- Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
- Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
- Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
- Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
- Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
- Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
- Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
- Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
- Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
- Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
- Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
- Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
- Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
- La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
- La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
- Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
- Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
- Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
- Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
- Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
- Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
- Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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L'ipotesi di Einstein non ha poche conseguenze. La prima e fondamentale è quella di rivedere le trasformazioni del moto, adattandole al nuovo sistema. In realtà, queste erano già state ricavate. Il fisico olandese Hendrik Lorentz, qualche anno prima, trovò un sistema di trasformazioni che rendevano l'equazione delle onde elettromagnetiche invarianti rispetto a cambi di sistemi, ovvero, passando da un sistema a un altro seguendo queste trasformazioni, la forma dell'equazione differenziale non variava. Egli le ricavò come puro espediente matematico, rispondendo alla domanda: secondo quali trasformazioni l'equazione delle onde è invariante? Non pensava che queste potessero essere delle vere trasformazioni. Per un moto relativo all'asse , le trasformazioni sono le seguenti:
Il perché Lorentz non pensava potessero essere vere è ben chiaro: il tempo non è più costante, ovvero, cambiando sistema di riferimento, cambia anche il tempo. All'epoca, pensare una cosa simile era assurdo: si riteneva, infatti, che il tempo fosse assoluto e uguale in ogni sistema di riferimento. Einstein pensò semplicemente che è la natura a essere fatta così, e la nostra difficoltà ad accettare questa cosa è dovuta al fatto che siamo esseri biologici che vivono a basse velocità, per i quali il tempo è, in buona approssimazione, assoluto.
Una piccola osservazione su queste trasformazioni: sono lineari, e le equazioni differenziali non cambiano per trasformazioni lineari. Inoltre, la somma di due trasformazioni è ancora trasformazione, esistono l'elemento neutro e l'inverso: queste trasformazioni formano quindi un gruppo, detto gruppo di Lorentz.
Ora vediamo brevemente come, a partire dalla trasformazioni galileiane e dall'ipotesi che il modulo della velocità è costante, possiamo arrivare alle trasformazioni di Lorentz.
Consideriamo una lampadina che si accende situata nell'origine; la luce si propaga nello spazio seguendo la legge:
Considerando il tempo assoluto e la velocità della luce costante, in un altro sistema di riferimento avremo che:
Applichiamo adesso le trasformazioni di Galileo:
A questo punto, per far tornare i conti, dobbiamo per forza abbandonare l'ipotesi che il tempo sia assoluto; per questo, poniamo dove è una generica funzione. Esplicitando il quadrato:
Da questo ricaviamo che . Sostituendo questo valore nell'espressione qui sopra:
A questo punto, per poter ottenere l'equazione da cui siamo partiti, necessitiamo di dividere e per un fattore , ottenendo le trasformazioni di Lorentz.
Ricordiamo la composizione delle velocità secondo Galileo: partendo da , differenziando questa espressione otteniamo la composizione .
Lo stesso procedimento lo applichiamo alle trasformazione di Lorentz. Differenziandole, otteniamo
Dato allora una generica , quale sarà la ?
Allo stesso modo possiamo calcolare le altre componenti della velocità: