Meccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica

Il formalismo hamiltoniano che abbiamo trattato finora, come abbiamo accennato più volte, è alla base di teorie moderne della fisica come la meccanica quantistica e la meccanica statistica. Tuttavia, nei suoi ultimi traguardi, il confine tra meccanica classica e meccanica statistica si assottiglia notevolmente, tanto da poter dire che questo modulo è un'introduzione alla meccanica statistica.

Questa branca della fisica nasce tra la fine del XIX secolo e l'inizio del XX. A dare il via allo studio statistico fu la distribuzione delle velocità studiata da Maxwell; il testimone passò poi a Ludwig Boltzmann, che fu il massimo esponente della meccanica statistica. Questa si occupa di studiare sistemi a infiniti gradi di libertà, come un gas composto da un numero elevatissimo di particelle.

Prendiamo per l'appunto come sistema fisico un gas composto da un numero $n$ di particelle molto grande, ad esempio il numero di Avogadro (quindi di ordine $10^{23}$). Cosa possiamo dire dello stato del sistema? Nello spazio delle fasi $2n$ dimensionale non possiamo graficare con precisione lo stato del sistema, ma possiamo approssimare la posizione delle particelle del gas con un volumetto, attraverso cui descriviamo, quindi, lo stato del gas.

Il volumetto sappiamo misurare $V_{0}(c)=c$ al tempo $t_{0}=0$; il nostro sistema, poi, evolve nel tempo, andando a deformare il volumetto. Cosa possiamo dire della misura del volumetto a un tempo successivo $t\neq 0$?

Tutti i punti facenti parte del volumetto rappresentano un possibile stato microscopico delle particelle, e ognuno di questi stati evolve temporalmente, seguendo delle traiettorie che non si incrociano mai (altrimenti avremmo il paradosso di avere in un punto due particelle contemporanee). A risolvere i nostri dubbi c'è il seguente teorema.

Teorema (di Liouville)

Se l'hamiltoniana del sistema è indipendente dal tempo (ipotesi fondamentale), il volumetto del sistema resta costante man mano che il sistema evolve nel tempo.

Dimostrazione

Consideriamo una trasformazione canonica $(q,p)\to (Q,P)$. Misuriamo il volumetto $c$:

$V(c)=\int _{c}dq_{1}\,dq_{2}\cdots dq_{n}\,dp_{1}\cdots dp_{n}$

L'integrale è secondo la misura di Lebesgue. Con la trasformazione canonica, il volume diventa:

$V(c)=\int _{c}dQ_{1}\cdots dQ_{n}\,dP_{1}\cdots dP_{n}\cdot \left|\det {\frac {\partial {\big (}q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n}{\big )}}{\partial {\big (}Q_{1},\cdots ,Q_{n},P_{1},\cdots ,P_{n}{\big )}}}\right|$

Sappiamo però che in una trasformazione canonica lo jacobiano vale $J=1$. Sappiamo anche che l'evoluzione temporale è una trasformazione canonica, con funzione generatrice la funzione principale di Hamilton. La misura di Lebesgue del volumetto resta quindi costante nel tempo.

È interessante questo risultato, sebbene non fosse così inaspettato; in fin dei conti, pensare che il volume si comprima o si espanda all'infinito ha come conseguenza la perdita di alcune caratteristiche tipiche, come la densità. Un teorema davvero importante che sfocia nella fisica statistica è il seguente.

Teorema (della ricorrenza di Poincaré)

Consideriamo un sistema fisico con hamiltoniana indipendente dal tempo, che può muoversi nello spazio delle fasi in un volume limitato $\lambda$. Consideriamo un punto $x_{0}$ e un suo intorno $U_{0}$ aperto e piccolo a piacere. Il sistema evolve nel tempo fino al tempo $t=\tau$, in cui consideriamo un intorno $U(\tau )$. Allora, qualunque sia $\tau$, esisterà un tempo $t^{*}$ tale che $U(t^{*})\cap U(t_{0})\neq 0$. Ovvero, dopo un certo tempo, il sistema torna arbitrariamente vicino al punto iniziale.

Dimostrazione

Consideriamo il tempo in maniera discreta, come una successione discreta di tempi $\{t_{0},t_{1}\cdots \}$. Definiamo $U(t_{n})=U_{n}$. Prima di tutto, dimostriamo che esistono due intorni $U_{n1}$ e $U_{n2}$ tali che $U_{n1}\cap U_{n2}\neq 0$.

Indichiamo con $\mu (U_{i})$ la misura dell'intorno $U$ al tempo $i$. Se gli intorni non si incrociassero mai nel corso del tempo, il sistema arriverebbe a occupare tutto il volume possibile $\lambda$, occupando di volta in volta tutti i volumetti disgiunti che lo formano. Il volume che occupa nel tempo sarà quindi (additività della misura di Lebesgue):

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}U_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (U_{i})$

Se $n\to \infty$, allora anche il volume occupato $\mu \to \infty$; ma sappiamo che il sistema può muoversi in un volume limitato $\lambda$, quindi devono essere due intorni $U_{n1}$ e $U_{n2}$ tali che la loro intersezione è non nulla.

Rappresentiamo i due intorni e osserviamo la loro intersezione. I due intorni sono gli evoluti temporali degli intorni $U_{n1-1}$ e $U_{n2-1}$; poiché sono, appunto, evoluti temporali, la loro intersezione deve anche appartenere ai loro predecessori; facendo due passi indietro, la storia è la stessa. Supponendo $n2>n1$, facendo $n1$ passi indietro, abbiamo che $U_{n2-n1}$ e $U_{0}$ si intersecano. Ovvero, a un certo tempo $n2-n1$ il sistema è tornato arbitrariamente vicino al punto di origine.

Attenzione! Il teorema di Poincaré non afferma che il sistema torna al punto iniziale, ma solo che vi torna arbitrariamente vicino, e le due cose hanno significati diversi. Questo caso è interessante ma ha anche delle strane conseguenze. Il caso più famoso è un gas contenuto in una scatola divisa in due compartimenti $A$ e $B$; il gas si trova in $A$, mentre in $B$ viene fatto il vuoto. Tolto il setto divisore, il gas si espande fino a occupare tutto il volume $A+B$. Secondo il teorema di Poincaré, esisterà un tempo in cui il gas si troverà a essere quasi tutto contenuto nella metà $A$ della scatola. Questo sembra avere poco senso e, addirittura, contraddice il secondo principio della termodinamica.

Ora, se le particelle sono 3,4, è abbastanza probabile che, dopo un certo tempo umano, tornino nel volume $A$. Ma se il gas è un gas ragionevole, composto da un elevato numero di particelle, allora la probabilità che ciò avvenga in tempi brevi si assottiglia sempre più. In particolare, Boltzmann riuscì addirittura a stimare il tempo che un gas composto da $N_{A}$ particelle torni nel volume iniziale. Questo tempo è pari a $t^{*}=e^{N_{A}}$ secondi, che è addirittura superiore all'età dell'universo. Poiché il teorema di Poincaré non specifica quale tempo sia quello in cui è soddisfatta la tesi, ma ne verifica solo l'esistenza, non sono state possibili prove sperimentali che lo confutino. Anche perché non abbiamo e $e^{N_{A}}$ secondi a disposizione per attendere che ciò accada.