Meccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze

L'ipotesi di Einstein che il modulo della velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali ha conseguenze non banali. Come abbiamo già potuto notare dalle trasformazioni di Lorentz, viene a cadere il concetto di tempo assoluto, che fin da Aristotele era il paradigma diffuso e accettato dalla comunità scientifica. Questo è un effetto interessante: in conseguenza dell'ipotesi di Einstein, siamo di fronte a una dilatazione dei tempi quando cambiamo sistema di riferimento.

Dilatazione dei tempi

Facciamo un esempio, studiando un modello. Consideriamo un'astronave che passa per l'origine del nostro sistema di riferimento con velocità orizzontale $v=\text{cost}$. Su questo razzo sono presenti due specchi, a distanza di un metro l'uno dall'altro; un raggio luminoso parte da uno dei due specchi, viene riflesso dal secondo e torna al laser d'origine. Questo sarà il nostro particolare orologio, che misura il tempo in spazio percorso dal raggio luminoso. Un intervallo fondamentale è un periodo completo, che sarà pari a $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{l}{c}=2\text{m}$, posto ovviamente $c=1$. L'apice indica che ci troviamo nel sistema di riferimento del razzo e non a terra.

L'evento che studiamo è proprio il raggio di luce che parte dal laser. Abbiamo quindi:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=2\text{m}\\ & \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=0\\ & \mathrm{\Delta }{y}^{\prime }=0\\ & \mathrm{\Delta }{z}^{\prime }=0\end{array}$

Consideriamo ora la grandezza $\mathrm{\Delta }{s}^{\prime }=\mathrm{\Delta }t{\text{'}}^2-(\mathrm{\Delta }x{\text{'}}^2+\mathrm{\Delta }y{\text{'}}^2+\mathrm{\Delta }z{\text{'}}^2)=4$. Di questa grandezza parleremo in seguito, per ora prendiamola per buona.

Spostiamoci adesso nel sistema a terra. Il raggio luminoso si sposta assieme al razzo (esattamente come nel caso di Michelson-Morley, percorre una traiettoria triangolare, con la base pari a $\mathrm{\Delta }x$ e i lati obliqui di dimensione $c$). Avremo le seguenti variazioni:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Delta }x=v\mathrm{\Delta }t\\ & \mathrm{\Delta }y=0\\ & \mathrm{\Delta }z=0\\ & \mathrm{\Delta }t=2\sqrt{l^2+{\left(\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\right)}^2}=2\sqrt{l^2+{\left(\frac{v\mathrm{\Delta }t}{2}\right)}^2}\end{array}$

Notiamo che $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\ne \mathrm{\Delta }t$. In particolare $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{2}{c}$, applicando le trasformazioni di Lorentz:

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{\mathrm{\Delta }t-\frac{v}{c^2}\mathrm{\Delta }x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow (\mathrm{\Delta }x=0)\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Da questo otteniamo che $\mathrm{\Delta }t=\frac{2}{c}\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}$. Ovvero $\Delta t>\Delta t^{\prime }$, quindi i tempi si dilatano per velocità più basse. Notiamo tuttavia che il $\mathrm{\Delta }s$ definito come sopra resta invariato in entrambi i sistemi di riferimento (il calcolo è solo algebra elementare).

Contrazione delle lunghezze

Adesso passiamo a considerare un altro fenomeno fisico, stavolta di tipo particellare. Attraverso dei particolari rilevatori riusciamo a osservare un gran numero di muoni che arrivano a Terra, formatisi all'inizio dell'atmosfera terrestre (generati dal vento solare che incontra l'atmosfera). Questo fenomeno è di per sé poco interessante, se non fosse che i muoni non potrebbero arrivare a terra.

Infatti, la velocità dei muoni è pari a $v=0.99999c$, molto prossima a quella della luce; tuttavia, la vita media di un muone è pari a $10^{-7}\text{s}$, dopo i quali decade in un elettrone e un antineutrino. Facendo un breve calcolo, lo spazio percorso, con quella velocità e in quel tempo, è al massimo qualche centinaio di metri (con fluttuazioni statistiche sulla vita del muone). Il limite dell'atmosfera si trova a venti chilometri (all'incirca) da terra.

Un modo di spiegare questo fenomeno è che, nel sistema di riferimento Terra, che ha velocità molto più basse di quelle del muone, il tempo si dilata secondo trasformazioni di Lorentz:

$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Poiché $\frac{v^2}{c^2}\to 1$, avremo che $\mathrm{\Delta }t>>\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$: l'intervallo di tempo si dilata così tanto, infatti, da permettere al muone di arrivare a terra con la sua velocità caratteristica.

E se invece ci mettessimo nel sistema di riferimento del muone? Se ci sediamo sul muone, il tempo $10^{-7}\text{s}$ resta quello che è, e la velocità è quella che è, cioè, dopo qualche centinaio di metri, il muone dovrebbe decadere e noi cadremmo nel vuoto (perché eravamo seduti sul muone). Allora, come è possibile che nel sistema di riferimento Terra i muoni arrivano al suolo, ma nel sistema di riferimento muone no?

Semplicemente, come il tempo si dilata, lo spazio si contrae. Consideriamo la stessa astronave dell'esempio precedente: su questa è presente un metro di lunghezza $l^{\prime }$. Nell'istante in cui l'astronave passa all'origine, l'astronauta misura in un intervallo $\Delta t^{\prime }=0$ la lunghezza di un metro a terra. È fondamentale che la misura sia fatta in un istante pressoché nullo (altrimenti l'astronave va via e il metro si trova ad essere lungo qualche chilometro). Questa lunghezza è pari a:

$\mathrm{\Delta }x=\frac{\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\mathrm{\Delta }x\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Risulta quindi essere $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }<\mathrm{\Delta }x$: lo spazio si contrae a seconda del sistema di riferimento. Il muone, quindi, riesce ad arrivare a terra perché lo spazio che percorre è molto minore di quello che vediamo noi.

Queste due conseguenze posero fine all'assolutismo dello spazio e del tempo: queste due misure, infatti, sono relative al sistema di riferimento in cui vengono misurate. C'è una ragione, quindi, se viene chiamata "teoria della relatività".