Meccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili

Frequenze delle piccole oscillazioni

In questo modulo parleremo delle piccole oscillazioni che il sistema compie una volta che viene messo in moto attorno a un punto di equilibrio stabile ${\tilde {q}}$; il sistema è sempre descritto dalle coordinate lagrangiane $q_{i}=(q_{1},\cdots ,q_{n})$.

Sviluppiamo l'energia al secondo ordine di Taylor:

$U(q_{1},\cdots ,q_{n})=U({\tilde {q}})+\sum _{l=1}^{n}\left.{\frac {\partial U}{\partial q_{l}}}\right|_{\tilde {q}}\cdot \eta _{l}+{\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{h}\partial q_{k}}}\right|_{\tilde {q}}\cdot \eta _{h}\eta _{k}+o(\eta ^{3})$

In questa espressione abbiamo considerato $\eta _{n}=q_{n}-{\tilde {q}}_{n}$.

Possiamo considerare $U({\tilde {q}})=0$; inoltre, per definizione di punto di equilibrio, vale $\left.{\frac {\partial U}{\partial q_{l}}}\right|_{\tilde {q}}=0$. Allora, se siamo vicini al punto di equilibrio (e nello studio delle piccole oscillazioni ci troviamo appunto in un intornino del punto di equilibrio) possiamo anche trascurare $o(\eta ^{3})$ ottenendo:

$U(q_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}U_{hk}\eta _{h}\eta _{k}$

È lecito chiederci quanto vicino alla posizione di equilibrio ${\tilde {q}}$ dobbiamo trovarci affinché siano valide queste approssimazioni. Sviluppiamo anche l'energia cinetica fino a un significativo ordine di $\eta$, ovvero tale che $|\eta |<<|{\tilde {q}}|$. Ricordiamo l'espressione dell'energia cinetica: $T={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}a_{hk}(q){\dot {q}}_{h}{\dot {q}}_{k}$. Possiamo esplicitare:

$a_{hk}(q)=a_{hk}({\tilde {q}})+0(\eta )$

Passiamo adesso dalle ${\dot {q}}_{h}$ alle ${\dot {\eta }}={\frac {d}{dt}}(q_{h}-{\tilde {q}})={\dot {q}}$; il passaggio non comporta quindi troppe difficoltà energetiche. Fatte queste considerazioni, possiamo scrivere l'energia cinetica come:

$T={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}a_{hk}(q){\dot {\eta }}_{h}{\dot {\eta }}_{k}+o(\eta ^{3})$

Anche qui consideriamo di essere abbastanza vicino a ${\tilde {q}}$ e possiamo trascurare $o(\eta ^{3})$. Inoltre, per classicità di notazione, scriviamo $a_{hk}$ come $T_{hk}$, ottenendo l'espressione dell'energia cinetica $T={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}T_{hk}{\dot {\eta }}_{h}{\dot {\eta }}_{k}$.

Possiamo finalmente scrivere la lagrangiana del nostro sistema

$L=T-U={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}{\big (}T_{hk}{\dot {\eta }}_{h}{\dot {\eta }}_{k}-U_{hk}\eta _{h}\eta _{k}{\big )}$

Ora possiamo scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange scrivendo così le equazioni del moto in prossimità del punto di equilibrio ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\eta }}}}-{\frac {\partial L}{\partial \eta }}=0$:

$\sum _{k=1}^{n}{\big (}T_{hk}{\ddot {\eta }}_{k}+U_{hk}\eta _{k}{\big )}=0$

Notiamo come, avendo scelto il punto di equilibrio come posizione privilegiata, otteniamo delle equazioni differenziali lineari, che hanno tutte le loro proprietà (lo spazio delle soluzioni è spazio vettoriale). Le soluzioni di queste equazioni saranno del tipo $\eta =a\,e^{\imath \omega t}$, con ${\underline {\eta }},{\underline {a}}$ vettori di $n$ dimensioni con componenti le differenti soluzioni delle equazioni. In particolare, indichiamo

${\underline {a}}_{n}=(a_{n1},\cdots ,a_{nn})\in \mathbb {C} \quad {\underline {\eta }}=(\eta _{i},\cdots ,\eta _{n})\ {\mbox{funzioni complesse}}$

La soluzione generale delle equazioni è la somma di tutte le soluzioni particolari, ovvero

${\underline {\eta _{k}}}=\sum _{h=1}^{n}a_{kh}\,e^{\imath \omega _{h}t}$

L'indice $k$ indica la componente del vettore soluzione, l'indice $n$ indica il vettore soluzione. Dobbiamo ovviamente far vedere che queste sono soluzioni, quindi le sostituiamo nell'equazione differenziale.

$\sum _{k=1}^{n}{\big (}T_{hk}{\ddot {\eta }}_{k}+U_{hk}\eta _{k}{\big )}=0$

Cerchiamo delle soluzioni del tipo $\eta _{k}=a_{k}e^{\imath \omega t}$ con $a_{k}\in \mathbb {C}$ coefficienti complessi:

$\sum _{k=1}^{n}{\big (}-\omega ^{2}T_{hk}+U_{hk}{\big )}a_{hk}e^{\imath \omega _{h}t}=0$

Ovviamente, come è immediato pensare, il termine $\omega$ indica la pulsazione dell'oscillazione. L'esponenziale si può semplificare essendo sempre positiva, ottenendo un sistema di equazioni algebriche (non differenziali, semplici equazioni algebriche) in $n$ incognite complesse a $a_{k}$ che dipendono dal parametro $\omega$:

$\sum _{k=1}^{n}{\big (}-\omega ^{2}t_{hk}+U_{hk}{\big )}a_{k}=0$

La soluzione banale è $a_{k}=0$, ma poco importa; cerchiamo quindi soluzioni non banali, per far ciò deve verificarsi (posto $\lambda =\omega ^{2}$):

$\det {\big (}-\lambda T_{hk}+U_{hk}{\big )}=0$

È possibile dimostrare che esistono $n$ soluzioni reali positive, quindi troveremo un numero di frequenze di oscillazione pari al numero dei gradi di libertà (o coordinate lagrangiane) del sistema. Non forniremo la dimostrazione matematica, ma faremo un breve discorso logico per far capire che l'esistenza delle soluzioni non è completamente insensata.

Se ci fosse un qualche $\lambda <0$, avremmo a che fare con $\omega =\pm {\sqrt {\lambda }}$, ovvero due numeri complessi. Quindi potremmo scrivere:

$\eta =a_{k}e^{\imath \omega t}=a_{k}e^{\imath \omega _{1}t}\cdot e^{-\imath \omega _{2}t}$

L'esponenziale negativo o esplode o si annulla. Tuttavia, l'energia del sistema deve restare costante lungo tutto il moto, quindi questo non è possibile.

Facciamo un po' di chiarimenti sui termini $T_{hk}$ e $U_{hk}$. Queste sono due matrici $n\times n$: la seconda $U_{hk}$ è l'hessiana dell'energia potenziale già studiata nel modulo precedente, mentre la prima $T_{hk}$ è l'hessiana dell'energia cinetica rispetto ai momenti coniugati delle coordinate; per fare un esempio, per due gradi di libertà, questa sarà:

$T_{hk}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial ({\dot {q}}_{1})^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}T}{\partial {\dot {q}}_{1}\partial {\dot {q}}_{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}T}{\partial {\dot {q}}_{1}{\dot {q}}_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}T}{\partial ({\dot {q}}_{2})^{2}}}\end{bmatrix}}$

Tornando a parlare delle soluzioni, per ogni $\lambda _{k}$ abbiamo $n$ soluzioni, ovvero si ha che $\lambda _{k}$ è un autovalore e $a_{k}$ il corrispettivo autovettore:

$\lambda _{k}\rightarrow a_{k}\quad {\underline {a_{k}}}=C_{k}e^{\imath \varphi t}$

La soluzione sarà quindi la parte reale del vettore:

${\underline {\eta _{k}}}=\Re \left[\sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{\imath \omega _{k}t}\right]={\underline {c_{k}}}\cos(\omega _{k}t+\varphi _{k})$

Ora facciamo un lunghissimo passo indietro, ricordando che $\eta =q-{\tilde {q}}$, e quindi:

$q(t)={\tilde {q}}+\sum _{k=1}^{n}{\underline {c_{k}}}\cos(\omega _{k}t+\varphi _{k})$

Le frequenze sono le $\omega _{k}$ presenti nell'argomento del coseno, e rappresentano la somma delle soluzioni dell'equazione algebrica in funzione di $\lambda$. Le costante $c_{k},\varphi _{k}$ sono arbitrarie.

La soluzione che abbiamo trovato, che rappresenta l'equazione del moto del sistema per movimenti piccoli attorno ai punti di equilibrio, è una combinazione lineare di $n$ oscillatori armonici, che vengono chiamati modi normali. Le $\omega _{k}$ sono chiamate frequenze normali o proprie. Quindi il moto del sistema, apparentemente complesso, non è altro che una somma di oscillatori armonici disaccoppiati, e ha quindi più senso e ordine di quanto possa sembrare da un'osservazione empirica.

Esempio classico: pendoli accoppiati

Un esempio classico di sistema di cui appare complicato studiare le piccole oscillazioni è quello di due pendoli accoppiati, ovvero appesi entrambi a una corda che abbia torsione elastica. Se mettiamo in piccola oscillazione solo uno dei due pendoli, dopo qualche secondo anche l'altro comincia a muoversi perché la corda che li unisce, torcendosi, fornisce un momento delle forze al pendolo che induce l'oscillazione. Vogliamo studiare le piccole oscillazioni di questo sistema. Facciamo finta che, a unire i pendoli, ci sia un molla di costante $k$ (lo studio resta uguale, invece di studiare una forza torcente studiamo una forza elastica). Per semplicità, inoltre, poniamo $m_{1}=m_{2}=l_{1}=l_{2}=g=1$. Le coordinate lagrangiane sono i due angoli di oscillazione dei pendoli, in particolare:

${\begin{aligned}&x_{1}=l_{1}\sin \theta _{1}\approx \theta _{1}\\&x_{2}=l_{2}\sin \theta _{2}\approx \theta _{2}\\&y_{1}=l_{1}(1-\cos \theta _{1})\\&y_{2}=l_{2}(1-\cos \theta _{2})\end{aligned}}$

L'energia cinetica sarà $T={\frac {1}{2}}({\dot {\theta }}_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2})$; ricordando che $T={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}T_{hk}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}$ la matrice $T_{hk}$ sarà:

$T_{hk}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Studiamo i punti di equilibrio; l'energia potenziale è data da $U=1-\cos \theta _{1}+1-\cos \theta _{2}+{\frac {1}{2}}k(\theta _{1}-\theta _{2})^{2}$, quindi:

$\nabla U={\begin{cases}&{\frac {\partial U}{\partial \theta _{1}}}=\sin \theta _{1}+k(\theta _{1}-\theta _{2})=0\\&{\frac {\partial U}{\partial \theta _{2}}}=\sin \theta _{2}+k(\theta _{2}-\theta _{1})=0\end{cases}}$

L'unico punto di equilibrio è, logicamente, $\theta _{1}=\theta _{2}=0$. Studiamone la classificazione:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \theta _{1}^{2}}}=\cos \theta _{1}+k{\Big |}_{(0,0)}=1+k\\&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \theta _{2}^{2}}}=\cos \theta _{2}+k{\Big |}_{(0,0)}=1+k\\&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \theta _{1}\partial \theta _{2}}}=-k{\Big |}_{(0,0)}=-k\end{aligned}}\qquad U_{hk}={\begin{vmatrix}1+k&-k\\-k&1+k\end{vmatrix}}$

Il punto è, com'è logico che sia, stabile (il determinante è positivo). Studiamo ora il determinante della matrice $-\lambda t_{hk}+U_{hk}=0$:

$\det {\begin{vmatrix}-\lambda +1+k&-k\\-k&-\lambda +1+k\end{vmatrix}}=(-\lambda +1+k)^{2}-k^{2}$

Risolvendo l'equazione di secondo grado in $\lambda$ escono due soluzioni del tipo $\lambda =k+1\pm k$, quindi avremo che

${\begin{aligned}&\lambda _{1}=1\quad \omega _{1}=1\\&\lambda _{2}=2k+1\quad \omega _{2}={\sqrt {2k+1}}\end{aligned}}$

Per poter trovare i modi normali, studiamo $\sum _{k=1}^{n}(-\lambda T_{hk}+U_{hk})a_{k}=0$; per $\lambda _{1}$ avremo:

$\left({\begin{matrix}1+k&-k\\-k&1+k\end{matrix}}\right){\binom {a_{1}}{a_{2}}}={\binom {0}{0}}$

Da cui otteniamo che $a_{1}=a_{2}$, ovvero le due ampiezze di oscillazione sono uguali:

${\begin{aligned}&\theta _{1}=a\cos(t)\\&\theta _{2}=a\cos(t)\end{aligned}}$

Per $\lambda _{2}$ invece:

$\left({\begin{matrix}-k&-k\\-k&-k\end{matrix}}\right){\binom {a_{1}}{a_{2}}}={\binom {0}{0}}$

Da cui otteniamo $-ka_{1}-ka_{2}=0$, ovvero $a_{1}=-a_{2}$; le oscillazioni sono del tipo:

${\begin{aligned}&\theta _{1}=a\cos({\sqrt {2k+1}}t)\\&\theta _{2}=-a\cos({\sqrt {2k+1}}t)\end{aligned}}$

Ovvero le oscillazioni, a prima vista complesse, sono la somma di due semplici moti armonici di ampiezza uguale o contraria.