Meccanica lagrangiana
- Introduzione alla meccanica lagrangianaMeccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
- Vincoli, virtualismi, variabili lagrangianeMeccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
- Equazione simbolica di d'AlembertMeccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
- La lagrangiana e le equazioni di Eulero-LagrangeMeccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
- Quantità conservateMeccanica analitica/Quantità conservate
- Punti di equilibrioMeccanica analitica/Punti di equilibrio
- Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabiliMeccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili
Meccanica hamiltoniana
- Hamiltoniana, equazioni canoniche di HamiltonMeccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton
- Spazi delle fasiMeccanica analitica/Spazi delle fasi
- Prede e predatori: le equazioni di Lotka e VolterraMeccanica analitica/Prede e predatori: le equazioni di Lotka e Volterra
- Parentesi di PoissonMeccanica analitica/Parentesi di Poisson
- Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di PoissonMeccanica analitica/Quantità conservate e quantità compatibili attraverso le parentesi di Poisson
- Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionaleMeccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale
- Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla DirichletMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton, condizioni alla Dirichlet
- Il principio variazionale di Hamilton ampliatoMeccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato
- Funzione principale di HamiltonMeccanica analitica/Funzione principale di Hamilton
- Trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Trasformazioni canoniche
- Parentesi di Poisson e trasformazioni canonicheMeccanica analitica/Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche
- Metodo di Hamilton-JacobiMeccanica analitica/Metodo di Hamilton-Jacobi
- Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statisticaMeccanica analitica/Il confine tra meccanica hamiltoniana e meccanica statistica
- La corda vibranteMeccanica analitica/La corda vibrante
Relatività speciale
- La fisica dopo MaxwellMeccanica analitica/La fisica dopo Maxwell
- Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di EinsteinMeccanica analitica/Esperienza di Michelson-Morley e l'ipotesi di Einstein
- Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocitàMeccanica analitica/Trasformazioni di Lorentz e composizione delle velocità
- Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezzeMeccanica analitica/Conseguenze dell'ipotesi di Einstein: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
- Spazio di MinkowskyMeccanica analitica/Spazio di Minkowsky
- Cinematica relativisticaMeccanica analitica/Cinematica relativistica
- Dinamica relativisticaMeccanica analitica/Dinamica relativistica
- Lagrangiana in relatività e l'effetto ComptonMeccanica analitica/Lagrangiana in relatività e l'effetto Compton
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Date due funzioni e , si definisce la parentesi di Poisson tra e :
L'espressione qui sopra si legge f poisson g. Questo elemento ha particolare importanza nella meccanica hamiltoniana, come vedremo nel prossimo modulo. Introduciamo intanto le tre proprietà delle parentesi di Poisson.
- Antisimmetria. Le parentesi di Poisson rispettano la proprietà dell'antisimmetria; infatti:
- Bilinearità. Le parentesi di Poisson sono bilineari, ovvero valgono:
- Rispettano l'identità di Jacobi, per tre funzioni :
Le parentesi di Poisson sono quindi un'operazione, dotata di proprietà, tra funzioni di variabili hamiltoniane. Quest'operazione fornisce quindi una struttura al formalismo hamiltoniano, ed è una struttura di tipo simplettico (si parla infatti di "strutta simplettica della meccanica hamiltoniana"). Vediamo adesso alcune caratteristiche principali delle parentesi di Poisson.
Siamo e indipendenti tra loro, e valga lo stesso per e ; allora vale:
Lo stesso risultato si ottiene per ; i sono i delta di Kronecker, che valgono 1 se gli indici sono uguali (), valgono invece 0 in tutti gli altri casi. Consideriamo ora:
Questo è molto interessante perché vale 1 quando gli indici sono uguali, sono nulle in tutti gli altri casi.
Vediamo adesso come le equazioni canoniche di Hamilton riflettano la struttura simplettica del formalismo hamiltoniano; calcoliamo infatti:
Che riflette la legge ; allo stesso modo:
Che riflette la legge .
Un'altra utile applicazione delle parentesi di Poisson è che è possibile esprimere le derivate totali tramite questo strumento; vediamo come, data :
Un modo di esprimere la derivata totale è quindi e, in alcuni casi, è anche un metodo più semplice per calcolarla.