Meccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane

Vincoli olonomi

Come abbiamo già detto nell'introduzione, la meccanica lagrangiana ha come scopo aggirare i vincoli nello studio del sistema; andiamo adesso a elencare due tipi di vincoli.

I vincoli olonomi bilaterali sono le funzioni che descrivono insiemi di bordo; la loro espressione generale è:

$f(x,y,z)=0$

Un esempio è la guida circolare, la cui espressione è $x^{2}+y^{2}-R^{2}=0$

I vincoli olonomi unilaterali, invece, sono relazioni che riguardano una sola variabile (unilaterale non a caso); la loro espressione generale è:

$f(x_{1},\cdots ,x_{n})>0$

Un esempio è una pallina che sbatte a un muro: può muoversi dove vuole da una parte, ma non può superare il muro; l'espressione di un vincolo simile può essere $x>0$ dove il muro è considerato come l'asse delle ordinate.

Per vincoli particolari, ad esempio delle guide dalla forma strana attraverso cui passa un anello, possono essere descritte da entrambi i modi, o da composizione di vincoli unilaterali e bilaterali.

Variabili lagrangiane e virtualismi

Le variabili lagrangiane sono delle variabili che servono a descrivere al meglio l'evoluzione temporale di un sistema fisico. La loro caratteristica principale è quella di essere non vincolate e di inglobare i vincoli nelle loro stesse definizioni. Esse sono tante quanti sono i gradi di libertà del sistema; a seconda dei vincoli, poi, possono essere anche di meno. La fondamentale importanza dell'utilizzo delle variabili lagrangiane è dovuto al fatto che queste sono indipendenti tra loro.

In meccanica newtoniana si usavano coordinate spaziali, indicate come una certa distanza dall'origine del sistema di riferimento considerato, indicabili con $OP_{i}$. Queste variabili possono essere trasformate nelle variabili lagrangiane attraverso opportune trasformazioni, e diventeranno funzione di quelle, ovvero si potrà scrivere $OP(q_{1},\cdots ,q_{n})$. Le variabili lagrangiane le indicheremo da ora in poi con il simboli $q_{i}$, dove l'indice indica semplicemente l'ordine di numerazione delle variabili.

Posta la trasformazione dalle variabili newtoniane alle lagrangiane, è possibile anche calcolare lo spostamento infinitesimo $dOP$ compiuto da un sistema vincolato in cui sia il sistema che i vincoli evolvono nel tempo:

$dOP=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP}{\partial q_{h}}}\,dq_{h}+{\frac {\partial OP}{\partial t}}dt$

Ora, il termine $dOP$ indica lo spostamento reale del sistema secondo le variabili newtoniane. A volte, però, è più comodo parlare di spostamento virtuale di un sistema vincolato. Facciamo un esempio per chiarire di cosa parliamo.

Prendiamo un punto materiale costretto a muoversi lungo una guida. Il percorso che il punto può fare lungo la guida è determinato e non può cambiare; il moto generale del punto nello spazio, però, può essere qualsiasi. Se infatti si fa muovere la guida nello spazio, è vero che il punto, lungo essa, può solo percorrere quel determinato tragitto, ma esso si muove assieme alla guida, e quindi lo spostamento reale sarà somma di due contributi: lo spostamento del punto lungo la guida e lo spostamento della guida stessa. Chiameremo lo spostamento del punto lungo la guida spostamento virtuale. La sua definizione generale è la seguente.

Definizione

Si definisce spostamento virtuale di un sistema lo spostamento permesso dal vincolo se questo fosse fermo. Si indica lo spostamento virtuale con $\delta OP$.

Il modo migliore per visualizzare lo spostamento virtuale è fissare il tempo $t$ e vedere quali movimenti sono permessi al nostro sistema vincolato. Poiché il tempo è fisso e consideriamo, nello spostamento virtuale, i vincoli totalmente indipendenti dal tempo (perché studiamo solo i movimenti permessi da questi, senza indagare l'evoluzione del vincolo nel tempo), l'espressione di funzione delle variabili lagrangiane deriva direttamente da quella di $dOP$, basta considerare il tempo ininfluente. Avremo quindi

$\delta OP=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP}{\partial q_{h}}}\delta q_{h}$

Indicheremo con il simbolo $dOP$ le quantità reali, con il simbolo $\delta OP$ quelle virtuali. In meccanica newtoniana l'equazione differenziale che descriveva l'evolversi dello stato di un sistema è data dalla seconda legge della dinamica

$m{\ddot {OP}}={\vec {F}}+{\vec {r}}$

${\vec {r}}$ indica le forze vincolari, che non sempre è facile o possibile calcolare. Il nostro primo obiettivo sarà quello di scrivere questa formula in funzione delle variabili lagrangiane, indipendenti dai vincoli, per le quali non valgono quindi le reazioni ${\vec {r}}$. Prima di poter giungere a quel risultato, però, c'è ancora un po' di strada da fare.

Terminiamo il modulo parlando di lavoro virtuale, che ci permette di definire anche un altro vincolo:

Definizione

Data la definizione di lavoro meccanico $dL={\vec {F}}\cdot ds$, si definisce lavoro virtuale

$\delta L=\sum _{i=1}^{n}{\vec {f_{i}}}\cdot \delta OP$

Lo spostamento virtuale, ovviamente, rientra nella definizione di lavoro virtuale. La somma delle forze agenti sul sistema vincolato permettono a questo di muoversi solo lungo il vincolo, ed è quindi necessario che si parli di spostamento virtuale. Questo ci permette quindi di definire:

Definizione

Si definisce vincolo perfetto bilaterale un vincolo tale che

$\delta L=\sum _{i=1}^{n}{\vec {r_{i}}}\cdot \delta OP=0$

Un vincolo perfetto bilaterale rende quindi il lavoro virtuale delle forze vincolari nullo per ogni infinitesimo spostamento virtuale $\delta OP$.