Meccanica analitica/Spazio di Minkowsky

Come anticipammo già all'inizio del corso, tralasceremo molti aspetti interessanti riguardanti il formalismo di questa teoria. Tuttavia, è bene parlare dello spazio di Minkowsky, chiamato così in onore del suo creatore Hermann Minkowsky, ovvero lo spazio vettoriale in cui si muove la teoria della relatività.

Se consideriamo lo spazio euclideo $\mathbb {E} ^{3}$, formato da vettori a tre componenti $(x,y,z)$, questo risulta essere uno spazio vettoriale completo, con una norma generata da un prodotto scalare e con la sua caratteristica distanza euclidea. Inoltre, il prodotto vettoriale definito come

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

risulta essere invariante per trasformazioni ortogonali, come rotazioni e traslazioni. Però, questo non può essere lo spazio in cui può muoversi la teoria della relatività: tempo e spazio, come abbiamo visto, variano cambiando sistema di riferimento (ovvero apportando opportune trasformazioni), come conseguenza della costanza di $c$.

Lo spazio da noi cercato è uno spazio di dimensione quattro: ci interessano infatti i quadrivettori, ovvero vettori a quattro componenti, di cui la prima, che si indica con l'indice 0, è la coordinata temporale, mentre le tre successive, numerate da 1 a 3 sono le coordinate spaziali. Ci interessa, inoltre, definire un prodotto vettoriale che, se applicato a due vettori dello spazio, resti invariante per trasformazioni di Lorentz.

Definizione

Dati due quadrivettori $A,B$:

${\begin{aligned}&A(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})\\&B(B_{0},B_{1},B_{2},B_{3})\end{aligned}}$

Si definisce prodotto di Minkowsky oppure norma di Minkowsky il prodotto così definito:

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}:=A_{0}B_{0}-(A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3})$

Questo prodotto scalare è invariante per trasformazioni di Lorentz.

Uno spazio vettoriale di dimensione quattro su cui è verificata la norma di Minkowsky viene chiamato spazio di Minkowsky.

Osserviamo come la norma di Minkowsky non sia definita positiva. Dati due eventi dello spazio $E_{1}$ e $E_{2}$, la norma:

$|E_{1}E_{2}|^{2}=c^{2}(t_{2}-t_{1})-{\big (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}{\big )}$

Può essere maggiore, minore o uguale a 0. Questo valore resta invariante cambiando sistema di riferimento secondo trasformazioni di Lorentz. Inoltre, abbiamo i seguenti casi:

• se $|E_{1}E_{2}|^{2}>0$, diremo che questo è un vettore di genere tempo;
• se $|E_{1}E_{2}|^{2}=0$, diremo che questo è un vettore di genere luce;
• se $|E_{1}E_{2}|^{2}<0$, diremo che questo è un vettore di genere spazio.

Lo spazio si può disegnare in un piano (o rappresentare in tre dimensioni); nell'immagine seguente vediamo una schematizzazione dello spazio di Minkowsky: notiamo il cono di luce a cui appartengono tutti i vettori di tipo luce; la velocità della luce è il limite naturale che non può essere superato. I vettori che sono "interni" al cono di luce sono di genere tempo, e lo resteranno in ogni sistema di riferimento; quelli che sono esterni al cono, invece, sono di genere spazio, e lo resteranno in ogni sistema di riferimento.

Figurazione tridimensionale dello spazio di Minkowsky. Il cono di luce delimita lo spazio dei vettori di genere tempo da quello dei vettori di genere spazio.

Consideriamo due eventi contemporanei, ovvero che avvengono nello stesso tempo (per esempio, giacenti entrambi sull'iperpiano presente). In un altro sistema di riferimento, i due eventi possono non coincidere temporalmente: le coordinate temporali possono variare per trasformazioni di Lorentz, a restare costante è la norma di Minkowsky; ciò è possibile solo se il vettore differenza tra i due eventi è di genere spazio. In quel sistema di riferimento, allora, uno dei due eventi sarà avvenuto prima nel tempo. Per questo motivo, i due eventi non possono essere in rapporto causale l'uno con l'altro. È in questo punto che la teoria della relatività di Einstein si scontra con la teoria quantistica, nel fenomeno dell'entanglement.

Allo stesso modo, possono esistere due eventi che avvengono in luoghi diversi i quali, in un altro sistema di riferimento, accadono nello stesso luogo (o hanno le stesse coordinate spaziali); ciò è possibile solo se il loro vettore differenza è di genere tempo.

Le curve che rappresentano le traiettorie nel grafico dello spazio-tempo di Minkowsky (piano o tridimensionale) si dicono linee di universo. Possono essere rappresentate come curve in funzione di un generico parametro $\lambda$:

$\phi (\lambda )={\big (}x_{0}(\lambda ),x_{1}(\lambda ),x_{2}(\lambda ),x_{3}(\lambda ){\big )}$

Un parametro che di solito risulta essere utile o particolarmente interessante è il tempo proprio.

Definizione

Si definisce tempo proprio di un sistema (o evento) inerziale il tempo del sistema di riferimento proprio dell'evento considerato.

Per fare un esempio, supponiamo di avere un'astronave che viaggia a velocità costante nello spazio, al cui interno c'è un orologio. Il tempo proprio di quell'astronave sarà il tempo segnalato dall'orologio al suo interno, non dal nostro orologio a terra (che, come abbiamo visto, misura un tempo diverso).

La definizione è valida per sistemi inerziali; infatti, come è poi ben dimostrato nella teoria della relatività generale, l'accelerazione ha effetti sullo spazio-tempo, che provocano variazioni diverse. Quindi, c'è da fare una piccola precisazione: questa definizione resta ancora valida per sistemi non inerziali a patto che si definisca il tempo proprio di un sistema non inerziale come il tempo di un sistema inerziale che si sovrappone istante per istante al sistema non inerziale, avente in ogni punto la stessa velocità del sistema accelerato considerato. Risulta essere un po' artificiosa, però, nel caso di sistemi accelerati, il regime della relatività speciale viene a mancare e si passa ad applicare la teoria generale.

Definizione

Si definisce intervallo di tempo proprio:

${\frac {ds}{c}}={\frac {\sqrt {c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}{c}}=:d\tau$

Ricordiamo che il fattore $ds$ è invariante per trasformazioni di Lorentz, quindi anche l'intervallo di tempo proprio $d\tau$ risulta esserlo.

Breve accenno tensoriale

Apriamo una piccola parentesi legata alla norma di Minkowsky; notiamo che la norma quadra di un vettore è pari a:

$|x|^{2}=\sum _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}x_{i}x_{j}\cdot {\hat {g}}_{i,j}$

Dove ${\hat {g}}$ è una matrice versore tale che $g_{00}=1$ e $g_{ii}=-1,\,i=1,2,3$, ovvero è una matrice $4\times 4$ del tipo:

${\hat {g}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$

In relatività generale questa non è una matrice diagonale, ma presenta altri elementi: questa matrice diventa un tensore che rappresenta proprio la curvatura dello spazio-tempo in presenza di masse che lo deformino.