Meccanica analitica/Il principio variazionale di Hamilton ampliato

Abbiamo dimostrato, nei moduli precedenti, il principio variazionale di Hamilton, osservando come un sistema di cui è possibile scrivere la lagrangiana compie una traiettoria che rende stazionario, generalmente minimo, il funzionale formale azione. Questo principio - in realtà un teorema, perché abbiamo potuto dimostrarlo (per altri esempi famosi di teoremi dimostrabili passati alla storia sotto il nome di principio, ci rifacciamo al principio di indeterminazione) - parla di lagrangiana, ma viene studiato nel formalismo hamiltoniano. È immediato quindi chiedersi se una cosa simile è possibile anche riguardo l'hamiltoniana; la risposta è positiva e va sotto il nome di principio variazionale di Hamilton ampliato. L'aggettivo ampliato si riferisce al metodo utilizzato per studiare la variazione del funzionale formale: non varieremo solo la traiettoria $q(t)$, ma anche il suo momento coniugato $p(t)$. Procediamo per gradi.

Siano $q_h,p_h$ le variabili canoniche di un sistema, prese indipendenti tra loro, che soddisfano le equazioni canoniche di Hamilton. Studiamo di questo sistema le variazioni $\delta q_h$ e $\delta p_h$. Per poter visualizzare al meglio le variazioni, prendiamo lo spazio delle fasi dell'oscillatore armonico.

Come per il principio non ampliato, non facciamo variare $q_1$ né $q_2$, ovvero $\delta q_1=\delta q_2=0$. Si definisce azione ampliata il funzionale:

$A^{\prime }={\int }_{t_0}^{t_1}dt(\sum _{h=1}^n{p}_h{\dot{q}}_h-H(q/p/t))$

La prima osservazione, non banale, è che l'azione ampliata non è uguale all'azione, ovvero $A\ne A^{\prime }$. Procediamo come nel caso precedente, studiandone la variazione. In questo non varia solo la traiettoria $q(t)$ ma varia anche $p(t)$. Nella seguente dimostrazione ci limitiamo, per semplicità di notazione, al caso unidimensionale (gradi di libertà $n=1$); nel caso multidimensionale è del tutto identica, basta aggiungere la sommatoria. Scriviamo le funzioni che variano come:

$\begin{array}{cc}& q(t)=q(t)+\delta q(t)\\ & p(t)=p(t)+\delta p(t)\end{array}$

Possiamo ora scrivere la variazione del funzionale:

$\delta A^{\prime }={\int }_{t_0}^{t_1}dt(p\delta \dot{q}+\dot{q}\delta p-\frac{\partial H}{\partial q}\delta q-\frac{\partial H}{\partial p}\delta p)$

Sviluppiamo per parti il fattore ${\int }_{t_0}^{t_1}dtp\delta \dot{q}$, ottenendo $p\delta q{|}_{t_0}^{t_1}-{\int }_{t_0}^{t_1}dt\dot{p}\delta q$; sostituendo:

$p\delta q{|}_{t_0}^{t_1}+{\int }_{t_0}^{t_1}dt(-\dot{q}\delta q+\dot{q}\delta p-\frac{\partial H}{\partial q}\delta q-\frac{\partial H}{\partial p}\delta p)$

Ricordiamo ora che come condizioni abbiamo posto $\delta q(t_1)=\delta q(t_0)=0$, e che il nostro sistema soddisfa le equazioni canoniche di Hamilton, che compaiono qui. Sostituendo e raggruppando, otteniamo:

$\delta A^{\prime }={\int }_{t_0}^{t_1}dt[(-\dot{p}-\frac{\partial H}{\partial q})\delta q+(\dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p})\delta p]=0$

Tutto questo sempre tenendo in considerazione che $\delta q,\delta p$ sono arbitrari. Abbiamo appena dimostrato che, per un sistema che compie il suo moto normale, di cui è possibile scrivere l'hamiltoniana e le cui variabili canoniche soddisfano le equazioni canoniche, il funzionale formale azione ampliata è stazionario. Per meglio esprimerci:

Principio di Hamilton ampliato

Se un sistema segue la sua traiettoria normale, allora l'azione ampliata è stazionaria, generalmente minima. Ciò vuol dire che, tra tutte le traiettorie possibili, il sistema compie la particolare $q(t)$, di momento coniugato $p(t)$, tali che questi due elementi minimizzino l'azione ampliata.

Esattamente come per il principio variazionale non ampliato, questo risultato è di notevole interesse, seppur aspettato (poiché l'hamiltoniana deriva direttamente dalla lagrangiana, era auspicabile ottenere un risultato simile).