Meccanica analitica/Il problema della brachistocrona, elementi di analisi funzionale

Il problema della brachistocrona è un famoso quesito risalente addirittura all'antica Grecia; il problema presentato è molto semplice: bisogna far giungere un grave da un punto iniziale (l'origine nell'immagine qui sotto) a un punto finale (il punto $(a,h)$) nel minor tempo possibile, ricordando che il grave è soggetto a forza peso. Qual è il percorso migliore che minimizzi il tempo impiegato? Ovvero, qual è il migliore scivolo?

Nell'immagine sono riportate alcune possibili traiettorie; in rosso una traiettoria simile a quella cercata

Come può immediatamente essere notato, questo problema non riguarda più il variare di una variabile, bensì varia la funzione. Scriviamo l'energia totale del sistema:

${\frac {1}{2}}m(v(x))^{2}=mgz(x)$

Dove $z(x)$ è la traiettoria della curva seguita dal grave; da questa espressione ricaviamo che la velocità è $v(x)={\sqrt {2gz(x)}}$; inoltre, poiché vale $v(x)={\frac {ds}{dt}}$, otteniamo la relazione $dt={\frac {ds}{v(x)}}$. Analizziamo meglio lo spostamento infinitesimo $ds$, che vale $ds={\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}$; questo può essere anche scritto:

$ds=dx{\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}$

Il tempo impiegato dal grave è dato da:

${\begin{aligned}T=&\int _{0}^{T}dt=\int _{0}^{T}{\frac {ds}{v(x)}}=\\=&\int _{0}^{T}{\frac {ds}{\sqrt {2gz(x)}}}=\int _{0}^{a}{\frac {\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}{\sqrt {2gz(x)}}}dx\end{aligned}}$

Come possiamo vedere, il tempo $T$ è funzione della curva $z(x)$ percorsa; sarà quindi $T[z(x)]$. Si indica con le parentesi quadre, e in matematica è un oggetto noto come funzionale: a seconda della traiettoria percorsa, $T$ assumerà valori sempre diversi. Quello che noi cerchiamo è proprio il valore minimo, quindi dobbiamo minimizzare un funzionale. Come possiamo fare?

Elementi di analisi funzionale: variazione di un funzionale

Consideriamo la funzione (generica) $L(q,q',t)$. Siano tutte le funzioni $q(t)\in C^{2}$, con $t\in (a,b)$; l'espressione $q'$ è la derivata prima della funzione, ovvero $q'={\dot {q}}(t)={\frac {dq}{dt}}$. Chiamiamo:

$I[q]=\int _{a}^{b}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt$

Questo è un funzionale della funzione $q(t)$. Come varia $I$ al variare di $q$? Scelgo la funzione $q(t)$ come la seguente funzione particolare:

$q(t)={\bar {q}}(t)+\delta q(t)\quad \Rightarrow \,\delta q(t)=\alpha \eta (t)\in C^{2}$

Con le particolari condizioni al contorno $\eta (a)=\eta (b)=0$ e $\alpha \approx d\alpha$, ovvero molto piccolo. Quello che sto facendo, in realtà, è semplicemente variare la funzione $q(t)$ mantenendone fissi gli estremi, come nella figura seguente (in rosso $q(t)$, in tratteggiato le $\eta (t)$, mantenendo fissi gli estremi $q(a)=A$ e $q(b)=B$.

Con la funzione $q(t)$ così definita, il funzionale diventa:

$I_{[q]}(\alpha )=\int _{a}^{b}dtL({\bar {q}}(t)+\alpha \eta (t);{\dot {\bar {q}}}(t)+\alpha {\dot {\eta }}(t);t)$

In questo modo abbiamo trasformato il funzionale in una funzione che dipende solo dal parametro $\alpha$, perché ${\bar {q}}(t)$ è fissata. Di una funzione sappiamo scrivere la sua derivata, che sarà quindi:

$\delta I=\alpha \left({\frac {dI}{d\alpha }}\right)_{\alpha }$

La precedente notazione prevede $\alpha =d\alpha$ perché, per come è presa ${\bar {q}}(t)$, il parametro $\alpha <<1$ è molto piccolo; inoltre, l'indice basso della derivata indica che quella va calcolata per $\alpha =0$. Quando $I$ varia, ovviamente, introduciamo un $\alpha$ diverso da zero, quando invece $\alpha =0$ si ha che $q(t)={\bar {q}}(t)$. Al variare di $\alpha$, quindi, variano sia $I$ che $q(t)$. Dalla precedente espressione possiamo calcolare $\delta I$:

$\delta I=\alpha \int _{a}^{b}dt\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {\eta }}\right]=\alpha \int _{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial q}}\eta dt+\alpha \int _{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {\eta }}dt$

Il secondo membro lo integriamo per parti, ottenendo così:

$\delta I=\alpha \left(\int _{a}^{b}dt{\frac {\partial L}{\partial q}}\eta +\left[\eta \,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right]_{t=a}^{t=b}-\int _{a}^{b}dt{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\eta \right)$

Ricordando che, per definizione, $\eta (a)=\eta (b)=0$, otteniamo l'espressione:

$\delta I=\alpha \int _{a}^{b}dt\left(\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\eta (t)\right)$

Per poter trovare un minimo, il nostro obiettivo, $\delta I$ deve essere nullo, cosicché $I$ resti stazionario. Allora deve valere:

$\delta I=\alpha \int _{a}^{b}dt\left[\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\eta (t)\right]=0$

Ricordiamo ancora una volta che $\eta (t)$ è arbitraria, purché si annulli agli estremi. Esiste un lemma fondamentale del calcolo delle variazioni, che ora dimostreremo.

Sia $\int _{a}^{b}\phi (t)\,\eta (t)dt=0\;\;\forall \eta (t)\in C^{2}$, con $\eta (a)=\eta (b)=0$. Allora deve necessariamente essere $\phi (t)=0$.

La condizione necessaria e sufficiente affinché $\int _{a}^{b}\phi (t)\eta (t)dt=0$ è che $\phi (t)=0$. Che è sufficiente è banale, non perdiamo neanche tempo a mostrarlo; dobbiamo dimostrare che è necessaria.

Procediamo per assurdo. Sia $\eta (t)$ arbitraria e $\phi (t)\neq 0$, per esempio una sinusoide. In un periodo vale $\int _{a}^{b}\phi (t)=0$. Allora prendiamo $\eta (t)$ così definita:

$\eta (t)={\begin{cases}&0\quad t<\xi _{1}\\&0\quad t>\xi _{2}\\&(t-\xi _{1})^{n}(\xi _{2}-t)^{m}\quad \xi _{1}<t<\xi _{2},\,{\mbox{con }}n,m>2\end{cases}}$

Questo supponendo che esisterà un $\xi _{1}<\xi <\xi _{2}$ tale che $\phi (\xi )\neq 0\,;\phi (\xi )>0$. Secondo queste ipotesi, per $\eta (t)$ così definita (ricordiamo che è arbitraria), per $\phi (t)\neq 0$, si ha che:

$\int _{\xi _{1}}^{\xi _{2}}\phi (t)\eta (t)dt\neq 0$

Il che è contrario all'ipotesi del lemma, quindi, per assurdo, deve necessariamente essere $\phi (t)=0$.

Quindi, per questo lemma appena dimostrato, affinché il funzionale resti statico deve necessariamente essere:

${\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0$

Ciò significa che, dato un funzionale definito come sopra, di una funzione $L(q,{\dot {q}},t)$, affinché questo resti stazionario la funzione considerata deve soddisfare questa equazione differenziale appena scritta, con le condizioni a contorno ${\bar {q}}(a)=A$ e ${\bar {q}}(b)=B$.

Nel prossimo modulo vedremo come tutto ciò ha a che fare con quello che stiamo studiando.