Meccanica analitica/Funzione principale di Hamilton

Meccanica analitica

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Meccanica lagrangiana

Introduzione alla meccanica lagrangiana Meccanica analitica/Introduzione alla meccanica lagrangiana
Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane Meccanica analitica/Vincoli, virtualismi, variabili lagrangiane
Equazione simbolica di d'Alembert Meccanica analitica/Equazione simbolica di d'Alembert
La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange Meccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange
Quantità conservate Meccanica analitica/Quantità conservate
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Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili Meccanica analitica/Piccole oscillazioni attorno a punti di equilibrio stabili

Meccanica hamiltoniana

Relatività speciale

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Trattiamo adesso un argomento che termina lo studio variazionale fatto finora; potrà sembrare inconcludente a una prima occhiata, ma più avanti nel corso torneremo a trattare questo argomento specificamente.

Dato il funzionale azione ampliata:

$A^{'} [q, p] = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t (\sum_{h = 1}^{n} p_{h} {\dot{q}}_{h} - H (q / p / t))$

Sappiamo essere funzione delle traiettorie $q (t)$ e dei rispettivi momenti coniugati $p (t)$ . Sappiamo anche che, scelte traiettorie e momenti coniugati che soddisfano le equazioni canoniche, questo funzionale resta stazionario. Proprio da questo punto partiamo, per modificare il funzionale in una funzione. Scegliamo, appunto, non traiettorie $q (t)$ e $p (t)$ arbitrarie, bensì scegliamo proprio quelle che minimizzano l'azione ampliata. A questo punto, $A^{'}$ non è più un funzionale, ma diventa un numero reale preciso. Tuttavia, questo può essere fatto variare, in particolare rendendolo funzione di diverse variabili. Come variabili particolari scegliamo $q_{0}, q_{1}, t_{0}, t_{1}$ , ovvero posizioni e tempi iniziali e finali. Ottengo quella che viene definita come funzione principale di Hamilton:

$S (q_{0}, t_{0}, q_{1}, t_{1}) = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d τ (\sum_{h = 1}^{n} p_{h} {\dot{q}}_{h} - H (q / p / t))$

Questa è una funzione di quattro variabili che deriva direttamente dall'azione ampliata: semplicemente, si varia il valore dell'azione ampliata variando posizioni e tempi iniziali e finali. Quali equazioni deve soddisfare questa funzione? Vediamole, variando una a una le variabili.

Partiamo variando $δ q$ , esprimiamo $δ S$ in funzione di $δ q$ .

$δ S = \int_{t_{0}}^{t_{1}} d τ (δ p \dot{q} + p δ \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial q} δ q - \frac{\partial H}{\partial p} δ p)$

Come ci siamo abituati, integriamo per parti il termine $p δ \dot{q}$ :

$p δ q |_{t_{0}}^{t_{1}} - \int_{t_{0}}^{t_{1}} [δ p (\dot{q} - \frac{\partial H}{\partial p}) - δ q (- \dot{p} - \frac{\partial H}{\partial q})] d τ$

Le variabili $p$ e $q$ non sono arbitrarie, sono quelle che minimizzano l'azione ampliata e che rispettano le equazioni canoniche, quindi tutto il termine integrando è identicamente nullo, quindi otteniamo che:

$δ S = p δ q |_{t_{0}}^{t_{1}} = p δ q (t) - p_{0} δ q_{0}$

Da questo risultato ottengo già le prime due relazioni:

$\begin{matrix} \frac{\partial S}{\partial q} = p \\ \frac{\partial S}{\partial q_{0}} = - p_{0} \end{matrix}$

Adesso facciamo variare $δ t$ ; vediamo l'espressione $δ S$ . Per il teorema fondamentale del calcolo vale:

$\frac{d S}{d t} = \frac{\int_{t_{0}}^{t} d τ (p \dot{q} - H)}{d t} = p \dot{q} - H$

Un altro modo di esprimere $δ S$ è quello di calcolare la derivata totale:

$\frac{d S}{d t} = \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{\partial S}{\partial q} \dot{q}$

Utilizzando le espressioni già trovate, avendo $\frac{\partial S}{\partial q} = p$ , vale:

$\frac{d S}{d t} = \frac{\partial S}{\partial t} + p \dot{q}$

Ora uguagliamo questa espressione con quella ottenuta sfruttando il teorema fondamentale del calcolo:

$\frac{\partial S}{\partial t} + p \dot{q} = p \dot{q} - H$

Otteniamo quindi la terza espressione: $\frac{\partial S}{\partial t} = - H$

Ora facciamo variare $δ t_{0}$ ; come prima, per il teorema fondamentale del calcolo vale:

$\frac{d S}{d t_{0}} = \frac{\int_{t_{0}}^{t} d τ (p \dot{q} - H)}{d t_{0}} = - \frac{\int_{t}^{t_{0}} d τ (p \dot{q} - H)}{d t_{0}} = - p \dot{q} + H (q_{0}, p_{0}, t_{0})$

Calcolando esplicitamente la derivata totale, invece:

$\frac{d S}{d t_{0}} = - \frac{\partial S}{\partial t_{0}} + \frac{\partial S}{\partial q_{0}} {\dot{q}}_{0}$

Sfruttando le equazioni prima ottenute $\frac{\partial S}{\partial q_{0}} = - p_{0}$ , otteniamo:

$\frac{d S}{d t_{0}} = \frac{\partial S}{\partial q_{0}} - p_{0} {\dot{q}}_{0}$

Uguagliando le due espressioni trovate:

$- p_{0} {\dot{q}}_{0} + H (q_{0}, p_{0}, t_{0}) = \frac{\partial S}{\partial t_{0}} - p_{0} {\dot{q}}_{0}$

Ottenendo l'ultima espressione cercata: $\frac{\partial S}{\partial t_{0}} = H (q_{0}, p_{0}, t_{0})$ .

Le espressioni che abbiamo ottenuto sono le seguenti e vengono chiamate equazioni di Hamilton-Jacobi:

$| \begin{matrix} \frac{\partial S}{\partial q} = p \\ \frac{\partial S}{\partial q_{0}} = - p_{0} \\ \frac{\partial S}{\partial t} = - H (q, p, t) \\ \frac{\partial S}{\partial t_{0}} = H (q_{0} >, p_{0}, t_{0}) \end{matrix}$

Queste espressioni ci permettono di studiare l'evoluzione della funzione principale di Hamilton al variare delle sue variabili; come notiamo, per poter conoscere la funzione dobbiamo prima conoscere $q (t)$ e $p (t)$ , perché sappiamo che queste sono quelle particolari variabili che minimizzano l'azione.