Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le derivate fondamentali

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Indice del libro

Derivata di una funzione costante[modifica]

Teorema: Derivata di una funzione costante
La derivata di una funzione costante è uguale a zero.
Teorema: Derivata di una funzione costante

Ipotesi

Tesi

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero.

Derivata della funzione y=x[modifica]

Teorema: Derivata della funzione
La derivata della funzione è .
Teorema: Derivata della funzione

Ipotesi

Tesi

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che
allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1.

Derivata della funzione sinusoidale[modifica]

Teorema: Derivata della funzione sinusoidale
La derivata della funzione è .
Teorema: Derivata della funzione sinusoidale

Ipotesi

Tesi

Dimostrazione

Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
si ottiene
Si moltiplica numeratore e denominatore per isolando il fattore con la funzione coseno
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
ottenendo
Ricordando il limite notevole
si ottiene

Derivata della funzione cosinusoidale[modifica]

Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale
La derivata della funzione è .
Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale

Ipotesi

Tesi

Dimostrazione

Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
si ottiene
Si moltiplica numeratore e denominatore per isolando il primo fattore del numeratore
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
ottenendo
Ricordando il limite notevole
si ottiene