Analisi matematica I/Limite/1

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Indice del libro

Limite di funzioni da a [modifica]

Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata

Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo , per poi espanderla a casi più generali.

Definizione[modifica]

Quindi iniziamo con una funzione , dove è il suo dominio e la sua immagine. Sia un punto di accumulazione di . Ora facciamo tendere a (), questo significa che è possibile prendere intorni sempre più piccoli di con la proprietà di contenere infiniti punti di (questo è garantito dal fatto che è un punto di accumulazione).

Ciò che ci interessa è cosa succede quando . Per poter far meglio comprendere l'utilità di questa operazione è bene chiarire un concetto, se è una proprietà di una funzione, si dice che la funzione possiede, o acquista, per , se esiste un intorno di che possiede .

Ora possiamo dare la definizione di limite:

Viewmag.png Definizione

Sia e di accumulazione e , diremo che il limite di per che tende a è :

se, per ogni intorno di , è possibile trovare un intorno di per cui vale :

se

in simboli:

Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme (insieme numeri reali esteso), che è definito come:

dove e non sono numeri, ma nuovi punti. Per fare in modo che sia un insieme ordinato, decidiamo che:

La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da e da .

  • Per :
  • Per :
  • Per :
.
  • Per :
.

Se il limite di una funzione è il seguente la funzione si dice infinitesima.

Se il limite di una funzione è il seguente la funzione si dice infinita.

Esempio 1[modifica]

Provare che

Prendiamo un intorno di , otteniamo:
perciò:
quindi basterà prendere:
che è un intorno di 0, il limite è verificato!.

Esempio 2[modifica]

Provare che

Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
separando la disuguaglianza:
dalle quali otteniamo direttamente:
dalle quali, per :
che è un intorno di , perciò il limite è verificato.

Esempio 3[modifica]

Provare che non esiste

Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
dalla quale
che non è un intorno di , perciò il limite non esiste.

Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto[modifica]

Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.

Viewmag.png Definizione

Dato , definiamo intorno destro di qualsiasi intervallo del tipo con e intorno sinistro qualsiasi intervallo . Da queste definizioni otteniamo che gli intorni di sono sinistri e quelli di sono destri.

Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro, in simboli saranno indicati rispettivamente:

e

La definizione sarà:

Viewmag.png Definizione

Sia e di accumulazione e , diremo che:

se, per ogni intorno di , è possibile trovare un intorno destro di per cui vale :

se

In simboli:

La stessa cosa si può ripetere per il limite sinistro.


Se lo stesso ragionamento viene fatto per punti dell'immagine, avremo la definizione di limite per difetto e per eccesso, in simboli, rispettivamente:

e

L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.

Teorema di unicità[modifica]

Teorema: Teorema di unicità

Sia

e

allora

Teorema: Teorema di unicità

Dimostrazione[modifica]

Dimostrazione: Teorema di unicità

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi

e

con , allora esistono due intorni di e di tali che siano disgiunti (). Per definizione devono esistere due intorni e di per cui vale:

se

e

se

Dunque prendendo l'intorno di costruito come , dovrebbe succedere, contemporaneamente, che e , il che è assurdo.

Dimostrazione: Teorema di unicità

Teorema di limitatezza locale[modifica]

Teorema: Teorema di limitatezza locale

Sia

Se

allora esistono, un intorno di e un numero

tali che

Teorema: Teorema di limitatezza locale

Teorema di esistenza del limite[modifica]

Teorema: Teorema di esistenza del limite

Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite

è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali

Teorema: Teorema di esistenza del limite

Teorema della permanenza del segno[modifica]

Teorema: Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia e con di accumulazione per , allora

Teorema: Teorema della permanenza del segno

Dimostrazione[modifica]

Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

Poniamo . Preso l'intorno con (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione di limite, esiste un intorno di , per il quale

cioè

Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per e .

Corollari[modifica]

Corollario: Teorema della permanenza del segno

Sia e un intorno di di accumulazione per .

Se

e se

allora

Corollario: Teorema della permanenza del segno

Teorema del confronto[modifica]

Teorema: Teorema del confronto

Siano

e un punto di accumulazione per .

Se

e se esiste un intorno di tale che risulti

allora

Teorema: Teorema del confronto

Dimostrazione[modifica]

Dimostrazione: Teorema del confronto

Sia

preso un intorno di , esistono intorni e di .

Per definizione abbiamo

e

Allora, preso l'intorno di , succede, per ipotesi, che:

cioè

Dimostrazione: Teorema del confronto

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi , ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

Esempio[modifica]

L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite

Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio

Limsinxoverx.png

Allora

Si ha dunque

da cui, dividendo per

prendendo i reciproci

sapendo che la disuguaglianza non cambia per e che , sfruttando il teorema del confronto otteniamo

Calcolo dei limiti[modifica]

Teoremi[modifica]

I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti. Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia e un punto di accumulazione per .

Se

allora

Teorema: Operazioni con i limiti

È evidente la validità dei teoremi per valori di (numeri reali), invece per elementi appartenenti a (in particolare per i casi ) perdono di significato e quindi necessitiamo di altri teoremi. Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia e un punto di accumulazione per .

Se

allora

Teorema: Operazioni con i limiti

Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:

  • (seguendo la regola dei segni convenzionale)

Casi mancanti all'elenco precendete conducono ad esrepssioni del tipo:

Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione.

Dimostrazione[modifica]

La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)

Preso

otteniamo direttamente

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)

Presi

e

dall'espressione


per la disuguaglianza triangolare otteniamo

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Preso


aggiungiamo e togliamo otteniamo

posti

e
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)

Forme di indecisione[modifica]

Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.