Analisi matematica I/Limite/2

Definizione

Sia data una successione di numeri reali $\left\{a_{n}\right\}\,\!$.

Si dice che $l\in \mathbb {R} \,\!$ è il limite della successione $\{a_{n}\}\,\!$ per n che tende a $+\infty \,\!$ (o che $\{a_{n}\}\,\!$ tende a $l\,\!$ per n che tende a $+\infty \,\!$) e si scrive:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=l\,\!$

se

$\forall \epsilon >0\ \exists {\tilde {N}}(\epsilon )\in \mathbb {N} :|a_{n}-l|\leq \epsilon ,\forall n\geq {\tilde {N}}(\epsilon )\,\!$.

In questo caso si dice che la successione $\{a_{n}\}\,\!$ è convergente.

Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto $|a_{n}-l|$ e questa distanza equivale a $\epsilon$, una quantità infinitesima.

Interpretazioni della definizione

• "per ogni $\epsilon \,\!$ appartenente all'insieme dei numeri reali positivi ($\mathbb {R} ^{+}\,\!$) esiste un $n_{\epsilon }\,\!$ appartenente all'insieme dei numeri naturali ($\mathbb {N} \,\!$) tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di $\epsilon \,\!$ per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( $\mathbb {N}$ ) maggiore di $N_{\epsilon }$".

• "La successione $\{a_{n}\}\,\!$ " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno $U=(l-\epsilon ,l+\epsilon )\,\!$ di l, esiste un intorno $V=(N,+\infty )$ di $+\infty \,\!$ e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente $a_{n}\,\!$ appartiene a U, cioè all'intorno $(l-\epsilon ,l+\epsilon )\,\!$

Si dice che $+\infty$ è il limite della successione $\{a_{n}\}$ per n che tende a $+\infty$ (o che $\{a_{n}\}$ tende a l per n che tende a $+\infty$) e si scrive:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$

se

$\forall K\geq 0\ \exists {\tilde {N}}(K)\in \mathbb {N} :a_{n}\geq K,\forall n\geq {\tilde {N}}(K)$. In questo caso si dice che la serie $\{a_{n}\}$ è divergente.

Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a $-\infty$.

Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.

La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.

Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.

Esempi

• La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
• La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
• La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
• Le successioni $a_{n}={1 \over n},\ a_{n}={1 \over n^{2}}$ sono infinitesime mentre $a_{n}=n,\ a_{n}=n^{2}$ sono infinite

Convergenza della successione

Una successione a_n converge a zero se e solo se $|a_{n}|$ converge a zero.

Esempio

La successione $a_{n}={(-1)^{n} \over n}$ converge a zero poiché $a_{n}={1 \over n}$ converge.

Teorema di unicità del limite

Se la successione ${a_{n}}$ ammette limite, esso è unico.

Dimostrazione del teorema

Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema. ). Supponiamo che $l1\not =l2$ siano limiti della successione $\{a_{n}\}$. Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti $|l2-l1|$.
Per definizione di limite qualunque sia $\epsilon >0\!$ esistono $\mathbb {N} _{1}(\epsilon )\mathbb {N} _{2}(\epsilon )$, tali che i due intorni siano $a_{n}\in (l1-\epsilon ,l1+\epsilon ),n\geq N_{1}(\epsilon )$ e $a_{n}\in (l2-\epsilon ,l2+\epsilon ),n\geq N_{2}(\epsilon )$ e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo $n\geq N_{3}(\epsilon )=max(N_{1}(\epsilon ),N_{2}(\epsilon ))$ si ha che $a_{n}\in (l1-\epsilon ,l1+\epsilon )\cap (l2-\epsilon ,l2+\epsilon )$. D’altra parte essendo $\epsilon$ arbitrario, si può assumere che esso sia $\epsilon <{|l1-l2| \over 2}$ (cioè minore della metà della distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti ma in questo caso $(l1-\epsilon ,l1+\epsilon )\cap (l2-\epsilon ,l2+\epsilon )$ è vuoto proprio perché l'intervallo $\epsilon$ non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di $\epsilon$ ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.

Teorema esistenza del limite

Se la successione {a_n} è convergente essa è limitata (cioè esiste un $M\geq 0$ tale che $|a_{n}|\leq M,\forall n\in \mathbb {N}$.

Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio $a_{n}=(-1)^{n}$

Teorema del limite del modulo

Se a_n una successione $\lim _{n\to \infty }|a_{n}|=l$ allora anche $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$.

Teorema della permanenza del segno

Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l>0$ esiste un numero N tale che $a_{n}>0,\ \forall n\geq N$. In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.

Dimostrazione

Per l>0 ha, per definizione di limite,$a-\epsilon \leq a_{n}\leq a+\epsilon$ per $n>{\tilde {N}}(\epsilon )$ che, in corrispondenza a $\epsilon ={l \over 2}>0$ diventa:

$0<{l \over 2}\leq a_{n}\leq {3l \over 2}$ per ogni $n\geq {\tilde {N}}(\epsilon )$. C.v.d.

Nel caso in cui $l=+\infty$ la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia $K\geq 0$ esiste un $N={\tilde {N}}(K)$ tale che $a_{n}\geq K>0$ per ogni $n\geq N$.

Corollario 1

Se $a_{n}\geq 0\ \forall n\in \mathbb {N}$ e $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$, allora $l\geq 0$

Dimostrazione

La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse $l\,<\,0$ allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che $a_{n}\,<\,0\ \forall n\,>\,N$ il che è contro l'ipotesi.

Corollario 2

Se $a_{n}\geq b_{n}\ \forall n\in \mathbb {N}$ e $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ , allora $a\geq b$

Teorema del confronto

Siano $\{a_{n}\}_{n}\ \{b_{n}\}_{n}\ \{c_{n}\}_{n}$ tre successioni tali che $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\ \forall n\in \mathbb {N}$. Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=l$ allora la successione $c_{n}$ è convergente a $\lim _{n\to \infty }c_{n}=l$

Dimostrazione

Utilizzando la definizione di limite si ha:

$\forall \epsilon >0\ \exists {\tilde {\mathbb {N} _{1}}}(\epsilon )\ {\tilde {\mathbb {N} _{2}}}(\epsilon )$ tali che:

$l-\epsilon \leq a_{n}\leq l+\epsilon \ \mathbf {se} \ n\geq {\tilde {\mathbb {N} _{1}}}(\epsilon )$

$l-\epsilon \leq b_{n}\leq l+\epsilon \ \mathbf {se} \ n\geq {\tilde {\mathbb {N} _{2}}}(\epsilon )$.

Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli

$n\geq {\tilde {\mathbb {N} _{3}}}=max({\tilde {\mathbb {N} _{1}}}(\epsilon ),{\tilde {\mathbb {N} _{2}}}(\epsilon ))$;

per tali n si ha che:

$l-\epsilon \leq a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\leq l+\epsilon \ \mathbf {se} \ n\geq {\tilde {\mathbb {N} _{3}}}(\epsilon )$.

Essendo $\epsilon$ è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque $\epsilon >0\ \exists {\tilde {\mathbb {N} _{3}}}(\epsilon )\ \mathbf {tale\ che} \ l-\epsilon \leq c_{n}\leq l+\epsilon \ \mathbf {per} \ n\geq {\tilde {\mathbb {N} _{3}}}(\epsilon )$

Esempio

Sia $c_{n}={\sin n \over n}$ poiché $-1\leq \sin n\leq 1$, si ha $-{1 \over n}\leq {\sin n \over n}\leq {1 \over n}$. Da $a_{n}=-{1 \over n}\rightarrow 0\ b_{n}={1 \over n}\rightarrow 0$ per il teorema del confronto si ha che $c_{n}={\sin n \over n}\rightarrow 0$

Limite di successioni monotone

Una successione (matematica) monotona $\{a_{n}\}$ crescente ammette sempre limite uguale a $sup\{a_{n}\}$ tale limite è perciò finito se $\{a_{n}\}$ è limitata superiormente altrimenti è $+\infty$. Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
$a_{n}\uparrow l$ oppure $a_{n}\downarrow l$.

Calcolo dei limiti

In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).

Si considerano successioni convergenti:
Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ con $a,b\in \mathbb {R}$ si ha:
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$

Dimostrazione limite somma

Per ipotesi qualunque sia $\epsilon \,>\,0$ esistono $N_{1}(\epsilon )\ N_{2}(\epsilon )$ tali che:

$|a_{n}-l_{1}|\,<\,\epsilon \$ se $n\,>\,N_{1}(\epsilon )$

$|b_{n}-l_{2}|\,<\,\epsilon \$ se $n\,>\,N_{2}(\epsilon )$

Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario $\epsilon \,>\,0$ esiste un $N_{3}(\epsilon )$ tale che:

$|(a_{n}+b_{n})-(l_{1}+l_{2})|\,<\,2\epsilon \$ se $n\,>\,N_{3}(\epsilon )$

Poiché $\epsilon$ è arbitrario anche $2\epsilon$ lo è dunque la precedente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.

Osserviamo che $|(a_{n}+b_{n})-(l_{1}+l_{2})|=|(a_{n}-l_{1})+(b_{n}-l_{2})|\leq |a_{n}-l_{1}|+|b_{n}-l_{2}|$ (per la disuguaglianza triangolare) e che per $n\,>\,N_{3}(\epsilon )=max(N_{1}(\epsilon ),N_{2}(\epsilon ))$ sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):

$|(a_{n}+b_{n})-(l_{1}+l_{2})|=|(a_{n}-l_{1})+(b_{n}-l_{2})|\leq |a_{n}-l_{1}|+|b_{n}-l_{2}|\,<\,\epsilon +\epsilon$ se $n\,>\,N_{3}(\epsilon )$

In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario $\epsilon \,>\,0$ se $n\,>\,N_{3}(\epsilon )$ tale che:

$|(a_{n}+b_{n})-(l_{1}+l_{2})|\,<\,2\epsilon$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=a+b$

Dimostrazione limite del prodotto

In base al teorema della limitatezza locale esiste un $M\,>\,0$ tale che $|b_{n}|\,<\,M\ \forall n\in \mathbb {N}$. Definendo $N_{3}(\epsilon )=max(N_{1}(\epsilon ),N_{2}(\epsilon ))$ si ha:

$|a_{n}b_{n}|=|a_{n}b_{n}-l_{1}b_{n}+l_{1}b_{n}-l_{1}l_{2}|\leq |b_{n}(a_{n}-a)|+|a(b_{n}-b)|=|b_{n}||a_{n}-a|+|a||b_{n}-b|\leq M\epsilon +|a|\epsilon$

se $n\,>\,N_{3}(\epsilon )$. Data l'arbitrarietà di $\epsilon$ si ha che pure $(M+|a|)\epsilon$ è arbitrario perciò il teorema è dimostrato

$\lim _{n\to \infty }{a_{n} \over b_{n}}={a \over b}\ (\mathbf {se} \ b_{n}\neq 0\ ,\ b\neq 0)$

Nel caso in cui i limiti sono $+\infty -\infty$ si può tenere presente la seguente tabella:

$a+\infty =+\infty$

$a-\infty =-\infty$

$+\infty +\infty =+\infty$

$-\infty -\infty =-\infty$

Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:
$a*\infty =\infty$

${a \over 0}=\infty \ (a\neq 0)$

${a \over \infty }=0$.

Forme indeterminate

Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:

• $+\infty -\infty \,\!$
• $\ 0*\infty \,\!$
• $\ {0 \over 0}\,\!$
• $\ {\infty \over \infty }\,\!$
• $\ {1}^{\pm \infty }\,\!$
• $\ {0}^{0}\,\!$
• $\ {+\infty }^{0}\,\!$

Limite notevole del tipo $\infty \over \infty$

Consideriamo la successione:

${P_{p}(n) \over Q_{q}(n)}$ $={{a_{p}n^{p}+a_{p-1}n^{p-1}+...a_{1}n+a_{0}} \over {b_{p}n^{p}+b_{p-1}n^{p-1}+...b_{1}n+b_{0}}}$

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata $\infty \over \infty$ .

Raccogliendo $n^{p}$ al numeratore e $n\cdot q$ al denominatore si ha: $n^{p-q}{{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+...a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-}p} \over {b_{p}+b_{p-1}n^{-1}+...b_{1}n^{1-p}+b_{0}n^{-}p}}$

cioè

$n^{p-q}c_{n}$

dove:

$c_{n}={{a_{p}+a_{p-1}n^{-1}+...a_{1}n^{1-p}+a_{0}n^{-}p} \over {b_{p}+b_{p-1}n^{-1}+...b_{1}n^{1-p}+b_{0}n^{-}p}}$

poiché $n^{-k}\rightarrow 0$qualunque sia $k\in \mathbb {N}$ non nullo si ha:

$a_{n}={{P_{p}(n)} \over {Q_{q}(n)}}$ vale:

• ${a_{p} \over b_{q}}\ \mathbf {se} \ p=q$
• $sign({a_{p} \over b_{q}})\infty \ \mathbf {se} \ p\geq q$
• $0\ \mathbf {se} \ p\leq q$

poiché $n^{p-q}$ vale:

• $1\ \mathbf {se} \ p=q$
• $+\infty \ \mathbf {se} \ p\geq q$
• $0\ \mathbf {se} \ p\leq q$

Confronti tra infiniti e infinitesimi

Per l'argomento confronti tra infinti e infinitesimi si rimanda all'articolo Stime Asintotiche