Analisi matematica I/Limite/2

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Principi di insiemistica e funzioni elementari

  1. Numeri naturali
  2. Numeri interi
  3. Numeri razionali
  4. Numeri reali
  5. Numeri reali (seconda parte)
  6. Numeri complessi
  7. Funzioni
  8. Funzioni circolari
  9. Funzioni radice, esponenziale e logaritmica

Le successioni e le serie numeriche in

  1. Successioni reali
  2. Limiti di successioni reali
  3. Teoremi sulle successioni
  4. Algebra dei limiti delle successioni
  5. Esistenza del limite di una successione
  6. Limiti inferiori e superiori
  7. Forme indeterminate di successioni
  8. Serie numeriche

Limiti di funzioni reali a una variabile reale

  1. Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
  2. Compattezza di un insieme
  3. Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
  4. Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
  5. Algebra dei limiti
  6. Teorema del confronto e teorema di Cauchy

Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità

  1. Analisi matematica I/Funzioni monotone
  2. Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
  3. Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
  4. Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue


Calcolo differenziale in e studio di funzioni

  1. Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
  2. Analisi matematica I/Algebra delle derivate
  3. Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
  4. Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
  5. Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
  6. Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
  7. Analisi matematica I/Funzioni convesse

Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale

  1. Analisi matematica I/Integrale di Riemann
  2. Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
  3. Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
  4. Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
  5. Analisi matematica I/Integrale generalizzato

Successioni e serie di funzioni

  1. Analisi matematica I/Successioni di funzioni
  2. Analisi matematica I/Serie di funzioni


VECCHIO Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Limiti: definizione
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Introduzione
  2. Il rapporto incrementale
  3. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  4. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  5. Le derivate fondamentali
  6. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  7. Il teorema di de L’Hospital
  8. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  9. o piccolo
  10. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  11. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  12. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

Definizione[modifica]

Sia data una successione di numeri reali .

Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a per n che tende a ) e si scrive:

se

.

In questo caso si dice che la successione è convergente.

Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto e questa distanza equivale a , una quantità infinitesima.

Interpretazioni della definizione[modifica]

  • "per ogni appartenente all'insieme dei numeri reali positivi () esiste un appartenente all'insieme dei numeri naturali () tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( ) maggiore di ".
  • "La successione " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno di l, esiste un intorno di e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente appartiene a U, cioè all'intorno

Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a l per n che tende a ) e si scrive:

se

. In questo caso si dice che la serie è divergente.

Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a .

Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.

La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.

Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.

Esempi[modifica]

  • La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
  • La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
  • La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
  • Le successioni sono infinitesime mentre sono infinite

Convergenza della successione[modifica]

Una successione an converge a zero se e solo se converge a zero.

Esempio[modifica]

La successione converge a zero poiché converge.

Teorema di unicità del limite[modifica]

Se la successione ammette limite, esso è unico.

Dimostrazione del teorema[modifica]

Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema. ). Supponiamo che siano limiti della successione . Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti .
Per definizione di limite qualunque sia esistono , tali che i due intorni siano e e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo si ha che . D’altra parte essendo arbitrario, si può assumere che esso sia (cioè minore della metà della distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti ma in questo caso è vuoto proprio perché l'intervallo non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.

Teorema esistenza del limite[modifica]

Se la successione {an} è convergente essa è limitata (cioè esiste un tale che .

Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio

Teorema del limite del modulo[modifica]

Se an una successione allora anche .

Teorema della permanenza del segno[modifica]

Se esiste un numero N tale che . In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.

Dimostrazione[modifica]

Per l>0 ha, per definizione di limite, per che, in corrispondenza a diventa:

per ogni . C.v.d.

Nel caso in cui la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia esiste un tale che per ogni .

Corollario 1[modifica]

Se e , allora

Dimostrazione[modifica]

La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che il che è contro l'ipotesi.

Corollario 2[modifica]

Se e e , allora

Teorema del confronto[modifica]

Siano tre successioni tali che . Se allora la successione è convergente a

Dimostrazione[modifica]

Utilizzando la definizione di limite si ha:

tali che:
.

Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli

;

per tali n si ha che:

.

Essendo è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque

Esempio[modifica]

Sia poiché , si ha . Da per il teorema del confronto si ha che

Limite di successioni monotone[modifica]

Una successione (matematica) monotona crescente ammette sempre limite uguale a tale limite è perciò finito se è limitata superiormente altrimenti è . Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
oppure .

Calcolo dei limiti[modifica]

In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).

Si considerano successioni convergenti:
Se e con si ha:

Dimostrazione limite somma[modifica]

Per ipotesi qualunque sia esistono tali che:

se

se

Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario esiste un tale che:

se

Poiché è arbitrario anche lo è dunque la precendente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.

Osserviamo che (per la disuguaglianza triangolare) e che per sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):

se

In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario se tale che:


Dimostrazione limite del prodotto[modifica]

In base al teorema della limitatezza locale esiste un tale che . Definendo si ha:

se . Data l'arbitrarietà di si ha che pure è arbitrario perciò il teorema è dimostrato

Nel caso in cui i limiti sono si può tenere presente la seguente tabella:

Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:

.

Forme indeterminate[modifica]

Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:

Limite notevole del tipo [modifica]

Consideriamo la successione:

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata .

Raccogliendo al numeratore e al denominatore si ha:

cioè

dove:

poiché qualunque sia non nullo si ha:

vale:

poiché vale:

Confronti tra infiniti e infinitesimi[modifica]

Per l'argomento confronti tra infinti e infinitesimi si rimanda all'articolo Stime Asintotiche