Analisi matematica I/Limite/2

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Indice del libro

Definizione[modifica]

Sia data una successione di numeri reali .

Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a per n che tende a ) e si scrive:

se

.

In questo caso si dice che la successione è convergente.

Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto e questa distanza equivale a , una quantità infinitesima.

Interpretazioni della definizione[modifica]

  • "per ogni appartenente all'insieme dei numeri reali positivi () esiste un appartenente all'insieme dei numeri naturali () tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( ) maggiore di ".
  • "La successione " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno di l, esiste un intorno di e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente appartiene a U, cioè all'intorno

Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a l per n che tende a ) e si scrive:

se

. In questo caso si dice che la serie è divergente.

Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a .

Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.

La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.

Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.

Esempi[modifica]

  • La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
  • La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
  • La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
  • Le successioni sono infinitesime mentre sono infinite

Convergenza della successione[modifica]

Una successione an converge a zero se e solo se converge a zero.

Esempio[modifica]

La successione converge a zero poiché converge.

Teorema di unicità del limite[modifica]

Se la successione ammette limite, esso è unico.

Dimostrazione del teorema[modifica]

Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema. ). Supponiamo che siano limiti della successione . Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti .
Per definizione di limite qualunque sia esistono , tali che i due intorni siano e e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo si ha che . D’altra parte essendo arbitrario, si può assumere che esso sia (cioè minore della metà della distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti ma in questo caso è vuoto proprio perché l'intervallo non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.

Teorema esistenza del limite[modifica]

Se la successione {an} è convergente essa è limitata (cioè esiste un tale che .

Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio

Teorema del limite del modulo[modifica]

Se an una successione allora anche .

Teorema della permanenza del segno[modifica]

Se esiste un numero N tale che . In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.

Dimostrazione[modifica]

Per l>0 ha, per definizione di limite, per che, in corrispondenza a diventa:

per ogni . C.v.d.

Nel caso in cui la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia esiste un tale che per ogni .

Corollario 1[modifica]

Se e , allora

Dimostrazione[modifica]

La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che il che è contro l'ipotesi.

Corollario 2[modifica]

Se e e , allora

Teorema del confronto[modifica]

Siano tre successioni tali che . Se allora la successione è convergente a

Dimostrazione[modifica]

Utilizzando la definizione di limite si ha:

tali che:
.

Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli

;

per tali n si ha che:

.

Essendo è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque

Esempio[modifica]

Sia poiché , si ha . Da per il teorema del confronto si ha che

Limite di successioni monotone[modifica]

Una successione (matematica) monotona crescente ammette sempre limite uguale a tale limite è perciò finito se è limitata superiormente altrimenti è . Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
oppure .

Calcolo dei limiti[modifica]

In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).

Si considerano successioni convergenti:
Se e con si ha:

Dimostrazione limite somma[modifica]

Per ipotesi qualunque sia esistono tali che:

se

se

Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario esiste un tale che:

se

Poiché è arbitrario anche lo è dunque la precedente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.

Osserviamo che (per la disuguaglianza triangolare) e che per sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):

se

In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario se tale che:


Dimostrazione limite del prodotto[modifica]

In base al teorema della limitatezza locale esiste un tale che . Definendo si ha:

se . Data l'arbitrarietà di si ha che pure è arbitrario perciò il teorema è dimostrato

Nel caso in cui i limiti sono si può tenere presente la seguente tabella:

Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:

.

Forme indeterminate[modifica]

Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:

Limite notevole del tipo [modifica]

Consideriamo la successione:

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata .

Raccogliendo al numeratore e al denominatore si ha:

cioè

dove:

poiché qualunque sia non nullo si ha:

vale:

poiché vale:

Confronti tra infiniti e infinitesimi[modifica]

Per l'argomento confronti tra infinti e infinitesimi si rimanda all'articolo Stime Asintotiche