Analisi matematica I/Limite/3

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Indice del libro

Limite di funzioni da a [modifica]

Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.

Definizione[modifica]

Cominciamo subito dando la definizione per funzioni :

Viewmag.png Definizione

Sia

e di accumulazione e , diremo che:

se, per ogni intorno di , è possibile trovare un intorno di per cui vale :

se

in simboli:

Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite

ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima :

invece, ora avvicinandoci da :

Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione, ma la definizione non ci dice nulla a riguardo, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.

Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo :

Viewmag.png Definizione

Sia

e di accumulazione e , diremo che:

se, per ogni intorno di , è possibile trovare un intorno di per cui vale :

se

in simboli:

Per facilitarne la comprensione si osservi che, se sono le componenti di la scrittura è equivalente a:

   

Infine facciamo notare che le funzioni del tipo sono particolarmente interessanti perché possono essere definite come funzioni .

Consideriamo e otteniamo:

Calcolo dei limiti[modifica]