Matematica per le superiori/Dai problemi alla teoria

Problema 1 - tratto dai Giochi di Archimede del 2002.

Un numero di due cifre viene sommato al numero ottenuto invertendo le sue cifre. Si divide quindi la somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il risultato. Che numero si ottiene?

(A) 36 (B) 49 (C) 100 (D) 121 (E) dipende dalle cifre del numero dato.

In Prima F si parte con alcuni tentativi numerici

C'è chi prova con il 12: $\left({\frac {12+21}{3}}\right)^{2}=\left({\frac {33}{3}}\right)^{2}=11^{2}=121$

C’è invece chi prova col 37: $\left({\frac {37+73}{10}}\right)^{2}=\left({\frac {110}{10}}\right)^{2}=11^{2}=121$

C’è anche chi prova col 05: $\left({\frac {05+50}{5}}\right)^{2}=\left({\frac {55}{5}}\right)^{2}=11^{2}=121$

Poi si comincia a riflettere: è un caso o una necessità?

Salta subito all'occhio che il risultato è sempre 121.

Tutti sospettiamo perciò che la risposta alla domanda sia la (D), ma nessuno ha il coraggio di fare tutti e 99 i tentativi necessari per escludere senza ombra di dubbio la risposta (E).

Numeri e lettere: uguali o diversi?

Ricorriamo perciò a numeri composti da cifre flessibili:

• la $\ a$ (che può corrispondere a qualsiasi numero naturale minore di 10)
• la $\ b$ (che può a sua volta corrispondere a qualsiasi numero naturale minore di 10)

In questo modo, scrivere $\ a$ significherà quindi scrivere un numero che vale come $\ a$ contato una volta, mentre scrivere $\ 3a$ significherà quindi scrivere un numero che vale come $\ a$ contato tre volte (e così via). Analogamente avverrà con $\ b$

Scrittura posizionale dei numeri

L'efficacissimo modo di scrivere i numeri che l'occidente ha adottato dopo averlo visto usare dagli arabi attorno al 1200 d.C. (gli arabi, a loro volta, lo avevano imparato dagli indiani due o tre secoli prima), utilizza solo 10 simboli, detti cifre:

C={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (dove C è l’insieme delle cifre)

Possiamo usare così pochi simboli per rappresentare un'infinita varietà di numeri perché ognuna delle cifre assume un valore ed un nome diversi a seconda della posizione che la cifra occupa nel numero.

Ad esempio: sebbene il numero 111 sia composto da cifre tutte uguali, il loro significato è sempre diverso. Infatti:

• _ _ 1 significa $\ 1\cdot 1$ = uno
• _ 1 _ significa $\ 1\cdot 10$ = dieci
• 1 _ _ significa $\ 1\cdot 100$ = cento

Perciò:

quando useremo la $\ a$ nella colonna delle unità il suo valore sarà $1\cdot a=a$ (1 è infatti l’elemento neutro della moltiplicazione)

quando useremo la $\ a$ nella colonna delle decine il suo valore sarà $10\cdot a$

Analogamente ragioneremo per $\ b$ e per tutte le lettere alternative ci venisse voglia di utilizzare: $\ x,y,z,m,n,...$

Espressioni letterali

Avendo deciso di usare la suddetta simbologia, non possiamo fare altro che esprimere:

• il numero di due cifre di cui parla il problema con l’espressione: $\ 10a+b$
• il numero ottenuto invertendo le cifre con: $\ 10b+a$.
• la loro somma con: $\ 10a+b+10b+a$
• il rapporto fra tale somma e la somma delle cifre con: ${\frac {10a+b+10b+a}{a+b}}$
• il cui quadrato è: $\left({\frac {10a+b+10b+a}{a+b}}\right)^{2}$

L’espressione letterale così ottenuta rappresenta la traduzione in operatori matematici generici del problema iniziale. Se il caso generale contiene delle lettere (per le quali si possono scegliere valori diversi) allora il risultato deve dipendere dal valore che attribuiremo di volta in volta ad $\ a$ e $\ b$.

Ma è proprio vero? Non è che magari semplificando questa espressione letterale ci capiterà di trovarci di fronte ad un risultato solo numerico? In quel caso la risposta già fornita dagli esempi numerici, la (D), verrebbe confermata. Proviamoci, dunque!

Cosa significa semplificare un’espressione letterale?

Semplificare qualsiasi cosa significa rendere questo qualcosa più semplice di come era in partenza, ma - nella sostanza - non diverso.

Ricordando che le filastrocche imparate sulle proprietà delle operazioni finiscono sempre con le parole: il risultato non cambia, intuiamo che sfruttare le proprietà delle operazioni ci garantirà di trasformare la nostra espressione letterale senza cambiarne il valore.

Qualcuno propone di applicare la proprietà commutativa al numeratore della frazione. Così facendo la nostra espressione diventa: $\left({\frac {10a+a+10b+b}{a+b}}\right)^{2}$

Questa espressione è senza dubbio equivalente a quella di partenza. Abbiamo infatti applicato all’addizione una proprietà che nell’addizione funziona.

Qualcun altro propone, giusto per focalizzare l’attenzione sui termini simili, di applicare anche la proprietà associativa al numeratore della frazione. Così facendo la nostra espressione diventa: $\left[{\frac {(10a+a)+(10b+b)}{a+b}}\right]^{2}$

Anche adesso potremmo giurare che l’espressione sia equivalente a quella di partenza: abbiamo applicato all’addizione un'altra proprietà che nell’addizione funziona.

Vista così l’espressione, ci viene una voglia matta di dire che $\ 10a+a=11a$ e che $\ 10b+b=11b$.

Ma avremo ragione? C’è una proprietà delle operazioni che ci conferma questa intuizione?

Pensa che ti ripensa, qualcuno nota che $\ 10a$ ed $\ a$ sono entrambi prodotti in cui compare il fattore $\ a$.

Raccoglimento a fattor comune

Questo ci fa tornare alla mente cosa succede quando si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione ad una somma: ogni termine della somma risulterà moltiplicato per il fattore dato. Applicando l’idea al nostro caso otteniamo:

$\ a\cdot (10+1)=10a+a$

Siccome l’uguaglianza vale in tutti e due i sensi, naturalmente, sarà anche vero che:

$\ 10a+a=a\cdot (10+1)$

Un momento!

$\ a\cdot (10+1)=a\cdot 11$ e per la commutativa della moltiplicazione $\ a\cdot 11=11\cdot a=11a$

Se applichiamo la proprietà transitiva dell’uguaglianza, potremo affermare che: $\ 10a+a=11a$ proprio come avevamo sperato!

Tutti contenti, scriviamo dunque la prima semplificazione vera e propria della nostra espressione sicuri della sua validità:

$\ \left[{\frac {(10a+a)+(10b+b)}{a+b}}\right]^{2}=\left({\frac {11a+11b}{a+b}}\right)^{2}$ .

Però in questa espressione ci sono ancora lettere. Se ci fermiamo qui, ci tocca rispondere (E).

Semplificazione di una frazione: metodo fallace

Poi d’istinto qualcuno propone di semplificare la $\ a$ del numeratore con la $\ a$ del denominatore e di fare altrettanto con la $\ b$.

Sarebbe bello, perciò ci proviamo di slancio, senza verificare se abbiamo il supporto di una opportuna proprietà.

Così facendo otteniamo: $\ \left({\frac {11a+11b}{a+b}}\right)^{2}=(11+11)^{2}=22^{2}=484$

Che delusione!

Questo numero non è il 121 che avevamo individuato con le nostre prove, né alcun altro numero offerto fra le risposte alternative del problema. Cosa c’è dunque che non va?

Riflettendo pensiamo:

• Una frazione è in fondo una divisione scritta in altro modo. Devono valere per lei le proprietà della divisione.
• Quello che abbiamo fatto sembra l’applicazione della proprietà invariantiva della divisione: perché dunque sembra non funzionare?

Decidiamo di rivederne l'enunciazione che dice:

Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità sia il dividendo/numeratore (ovvero tutti i termini della somma che lo compongono) sia il divisore/denominatore (ovvero tutti i termini della somma che lo compongono) il risultato della divisione non cambia.

Un momento!

Per passare da $\ \left({\frac {11a+11b}{a+b}}\right)^{2}$ a $\ (11+11)^{2}$

abbiamo diviso per $\ a$ solo il primo termine del numeratore e il primo termine del numeratore, non tutto il numeratore e tutto il denominatore.

Analogamente abbiamo fatto con $\ b$.

Ma questo significa aver applicato male la proprietà invariantiva, il che implica che il risultato cambi e quindi l'espressione trovata non sia equivalente alla precedente.

La somma di termini che non hanno la stessa parte letterale non si può fare

Torniamo dunque all’ultima versione affidabile della nostra espressione, e cioè a: $\ \left({\frac {11a+11b}{a+b}}\right)^{2}$

Così, d’istinto, qualcuno propone che la somma fra $\ 11a$ e $\ 11b$ sia $\ 22ab$.

Cominciamo tuttavia a diffidare delle proposte che non si appoggiano a ben precise proprietà delle operazioni perciò facciamo una prova:

Se poniamo, ad esempio, che $\ a=2$ e che $\ b=3$ otteniamo:

$\ 11a+11b$ = $\ 11\cdot 2+11\cdot 3=22+33=55$,

Invece, con quello stesso valore attribuito alle lettere, $\ 22ab$ diventa $\ 22\cdot 2\cdot 3=132$.

Il risultato non è lo stesso, perciò quello che otteniamo è un’espressione non equivalente a quella da cui siamo partiti.

Dobbiamo di nuovo bocciare la proposta.

La somma di termini che non hanno la stessa parte letterale si può, a volte, scomporre

A furia di guardare la somma $\ 11a+11b$ qualcuno nota la sua somiglianza con la somma $\ 10a+a$ già vista.

In entrambi i casi nei termini della somma compare infatti un fattore comune.

Ma allora sappiamo cosa fare!

Possiamo raccogliere l’$\ 11$ a fattor comune ed essere certi che l’espressione risultante sarà equivalente a quella che stiamo cercando di semplificare (il perché, se non lo ricordi, puoi andartelo a rivedere al paragrafo “Raccoglimento a fattor comune”)

Perciò la nuova versione della nostra espressione letterale è:

$\ \left[{\frac {11(a+b)}{a+b}}\right]^{2}$

Semplificazione di una frazione: metodo corretto

E adesso? C’è ancora qualche semplificazione da fare o siamo arrivati al capolinea e dobbiamo rispondere (E)?

Non è che per caso potremmo semplificare (questa volta correttamente) la frazione?

Enunciamo di nuovo la proprietà invariantiva della divisione e riflettiamo sul suo significato:

Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità sia il dividendo/numeratore (ovvero tutti i termini della somma che lo compongono) sia il divisore/denominatore (ovvero tutti i termini della somma che lo compongono) il risultato della divisione non cambia.

Ora, osservando la nostra frazione ci accorgiamo che:

• al numeratore è presente un solo termine: $\ 11\cdot (a+b)$ i cui fattori, $\ 11$ e $\ (a+b)$, sono potenzialmente semplificabili.

• il denominatore è invece composto da una somma di 2 termini. Tuttavia tale somma può essere intesa come un unico termine: $\ (a+b)$ ed esso, essendo identico ad uno dei fattori al numeratore, può essere semplificato.

Dunque semplifichiamo la frazione dividendo numeratore e denominatore per il fattore $\ (a+b)$

Siccome questa volta abbiamo rispettato i dettami della proprietà invariantica della divisione, ciò ci garantisce che il risultato non cambi e che la nuova espressione sia equivalente alle precedenti. Perciò:

$\left({\frac {10a+b+10b+a}{a+b}}\right)^{2}$=

$\left({\frac {10a+a+10b+b}{a+b}}\right)^{2}$=

$\left[{\frac {(10a+a)+(10b+b)}{a+b}}\right]^{2}$=

$\ \left[{\frac {(11a+11b)}{a+b}}\right]^{2}$ =

$\ \left[{\frac {11(a+b)}{a+b}}\right]^{2}$ =

$\ [11]^{2}$ = $\ 121$

Hey! Ma $\ 121$ è un numero vero e proprio, il cui valore è indipendente dal valore di qualsivoglia lettera e poi è il numero che abbiamo ottenuto nelle poche prove fatte!

Ora possiamo scegliere la risposta (D) senza dover provare proprio tutte e 99 le alternative, e senza neanche temere che qualcuno possa mettere in dubbio la nostra risposta.