Matematica per le superiori/La retta

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Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un equazione a due incognite di primo grado.

Indice

[modifica] Ricavare l'equazione

Tracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.

Secondo il teorema di Talete, valgono le equazioni:

\frac{H_1 H}{H_1 H_2} = \frac{P_1 P}{P_1 P_2} e \frac{K_1 K}{K_1 K_2} = \frac{P_1 P}{P_1 P_2}


Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:

\frac{H_1 H}{H_1 H_2} = \frac{K_1 K}{K_1 K_2}


Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P1, P e P2 si ottiene

\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}

Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo y2 − y1 = a, x1 − x2 = b e x2y1 − x1y2 = c si ottiene l'equazione in forma implicita:

ax + by + c = 0

[modifica] Il coefficiente angolare e l'intercetta

Se si ricava la y da quell'equazione e si pone - \frac{a}{b} = m e - \frac{c}{b} = q si ottiene

y = mx + q

dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.

  • Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è:
    y = mx
    il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
  • Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta:
    m = \frac{\Delta y}{\Delta x}
    Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti:
    y1 = y2
    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0}{\Delta x} = 0
    Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito:
    x1 = x2
    m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{0}
    L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo
    x = k
    dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti.
    Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:
α 0° 30° 45° 60° 90° 135° 150°
m 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} m\rightarrow\infty − 1 -\frac{\sqrt{3}}{3}

[modifica] Rette parallele e perpendicolari

I coefficienti angolari delle rette il cui rapporto è definibile sono legati matematicamente.

[modifica] Rette parallele

Fig. 1

Ip.: r // r^\prime

Ts.: mr = mr'

Dim:
I triangoli ABO e A'B'O sono simili, infatti:

  • Gli angoli AOB e A'OB' sono uguali perché opposti al vertice.
  • Gli angoli ABO e OB'A' sono uguali perché alterni interni.
  • Gli angoli BAO e B'A'O sono uguali perché alterni interni.

m_r = \frac{\overline{AO}}{\overline{OB}}
m_{r'} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OB'}}
siccome sono simili \frac{\overline{AO}}{\overline{OB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OB'}} e quindi:
mr = mr' cvd.

[modifica] Rette perpendicolari

Fig. 2

Ip.: r \bot r^\prime

Ts.: m_r = - \frac{1}{m_{r'}}

Dim:
I triangoli ABO e CDO sono simili.
m_r = \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}

m_{r'} = \frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}

\overline{AB} : \overline{OB} = \overline{OD} : \overline{CD}

m_{r'} = \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}} = \frac{-\overline{OD}}{\overline{CD}} = \frac{1}{\frac{\overline{CD}}{\overline{OD}}} = -\frac{1}{m_r}

[modifica] Simmetrie

  • Simmetria rispetto all'asse y: m -> -m; q -> -q
  • Simmetria rispetto all'asse x: m -> -m; q -> q
  • Simmetria rispetto all'origine (composizione delle prime due): m -> m; q -> -q

[modifica] Lavorare con l'equazione

Partendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:

r:y = 3x + 1
 P(2,3)
3 = 3\cdot2 + 1
3 \ne 7 \Rightarrow P non appartiene ad r

Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:

[modifica] Retta per un punto

y = mx + q
P(x0,y0)
y0 = mx0 + q
q = y0 − mx0
y = mx + y0 − mx0
y − y0 = m(x − x0)

Questa formula è equivalente a quella classica, y = mx + q, da cui deriva, ma in molte situazioni è più comoda da utilizzare.

[modifica] Retta per due punti

Dati due punti P1(x1,y1) e P2(x2,y2), per trovare l'equazione della retta corrispondente si può procedere nel seguente modo:

  1. Si trova m: m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  2. Si sostituiscono nell'equazione le coordinate di uno dei due punti.
  3. Si ricava q dalla stessa equazione.

[modifica] Distanza di un punto da una retta

Per "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.

Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:

Fig. 3

r:ax + by + c = 0
(Equazione in forma implicita) y = -\frac{a}{b}
y = \frac{b}{a} (Retta perpendicolare)
s: y = \frac{b}{a}x
\left\{\begin{matrix} y = \frac{b}{a}x \\ ax + by + c = 0 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} - \\ ax + \frac{b^2}{a}x + c = 0 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} - \\ \frac{a^2x +bx +ac}{a} = 0 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} - \\ x(a^2 + b^2) = -ac \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} - \\ x = -\frac{ac}{a^2 + b^2} \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y = \frac{b}{a}\frac{-ac}{a^2 + b^2} \\ x = -\frac{ac}{a^2 + b^2} \end{matrix}\right.
\overline{OH} = \sqrt{ \frac{a^2b^2}{(a^2 + b^2)^2} + \frac{b^2c^2}{(a^2 + b^2)^2} } = \sqrt{ \frac{a^2c^2 + b^2c^2}{(a^2+b^2)^2} } = \sqrt{ \frac{c^2(a^2 + b^2)}{(a^2 + b^2)^2} } = \frac{ \sqrt{c^2} }{ \sqrt{a^2 + b^2}}

= \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione:
r in O: ax + by + c = 0 \left\{\begin{matrix} x' = x - x_P \\ y' = y - y_P \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x = x' + x_P \\ y = y' + y_P \end{matrix}\right.
r in P: a(x' + xP) + b(y' + yP) + c = 0
ax' + by' + axP + byP + c = 0

= \frac{|ax_P + by_P + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}


[modifica] Fasci di rette

Un fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.

Come già visto, il fascio per un punto P(x0,y0) è ottenibile con la formula y − y0 = m(x − x0), ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici. Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.

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