Matematica per le superiori/Prodotti notevoli
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[modifica] Quadrato di un binomio
Dato il binomio (a + b) , il suo quadrato (a + b)2 è uguale al quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, più il doppio prodotto del primo termine moltiplicato per il secondo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
[modifica] Esempi
- (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
- (2x + y)2 = (2x)2 + 2 * 2xy + y2 = 4x2 + 4xy + y2
- (2x + 2y)2 = (2x)2 + 2 * 2x * 2y + (2y)2 = 4x2 + 8xy + 4y2
- (2xy + 3y)2 = (2xy)2 + 2 * 2xy * 3y + (3y)2 = 4x2y2 + 12xy2 + 9y2
[modifica] Quadrato di un polinomio
Dato il trinomio 
, il suo quadrato 
è pari alla somma dei quadrati di ogni termine, e del doppio prodotto di ciascuna coppia di termini misti.
(a + b + c...)2 = a2 + b2 + c2 + ... + 2ab + 2ac + 2bc + ...
[modifica] Esempi
- (2a + b + c)2 = (2a)2 + b2 + c2 + 2 * 2a * b + 2 * 2a * c + 2bc = 4a2 + b2 + c2 + 4ab + 4ac + 2bc
- (2a + 2b + c)2 = (2a)2 + (2b)2 + c2 + 2 * 2a * 2b + 2 * 2a * c + 2 * 2b * c = 4a2 + 4b2 + c2 + 8ab + 4ac + 4bc
- (3ab + 4bc + 5ac)2 = (3ab)2 + (4bc)2 + (5ac)2 + 2 * 3ab * 4bc + 2 * 3ab * 5ac + 2 * 4bc * 5ac = 9a2b2 + 16b2c2 + 25a2c2 + 24ab2c + 30a2bc + 40abc2
[modifica] Cubo di un binomio
Dato un binomio (a + b) il suo cubo (a + b)3 è pari al cubo del primo termine, più il cubo del secondo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
[modifica] Prodotto della somma di due termini per la loro differenza
la somma di due termini (a + b) per la loro differenza (a − b) avrà come risultato la differenza dei rispettivi quadrati.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
[modifica] Somma di due cubi
La somma dei cubi di due monomi (a3 + b3)è pari al prodotto della somma dei due monomi, moltiplicato per il polinomio costituito dal quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo monomio, meno il prodotto del primo monomio per il secondo monomio.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
[modifica] Falso quadrato
N.B. Il termine (a2 − ab + b2) è detto il falso quadrato di (a + b).
[modifica] Differenza di due cubi
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
[modifica] Trinomio Notevole (detto anche Trinomio speciale o trinomio caratteristico)
x2 + sx + p = (x + a)(x + b) se ab = p e a + b = s
[modifica] Esempio
Dato il polinomio x2 + 5x + 6, i due numeri a e b tali che ab = 6 e a + b = 5 sono a = 3 e b = 2. Perciò possiamo scrivere x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
[modifica] Somma e differenza di quadrati di basi quasi uguali
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Nella somma di questi quadrati, nelle basi cambia soltanto il segno di un termine (b). Nel caso si sommino basi quasi uguali bisogna raddoppiare la somma dei quadrati; nel caso si sottraggano bisogna raddoppiare il doppio prodotto.
