Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

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Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:

$a x 2 + b x + c > 0$

[modifica] Risoluzione algebrica

Partendo dalla nostra disequazione:

a x 2 + b x + c > 0

poniamo una limitazione non restrittiva $a > 0 \,$ (se $a < 0$ basta moltiplicare entrambi i membri per -1)

Raccogliamo $a$ :

$a \left( x^2 + {b \over a} x + {c \over a} \right) > 0$

$a \left( x^2 + {b \over a} x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + {c \over a} \right)>0$

$a \left[ \left( { x + \frac{ b }{ 2a } } \right)^2 - \frac{ b^2 - 4ac }{ 4a^2 } \right]>0$

$a \left( { x + \frac{ b }{ 2a } } \right)^2 - \frac{ b^2 - 4ac }{ 4a } >0$

$b 2 - 4 a c$ è la discriminante dell'equazione $a x 2 + b x + c = 0$ , quindi scriviamo:

$a \left( { x + \frac{ b }{ 2a } } \right)^2 - \frac{ \Delta }{ 4a } >0$

A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:

$\Delta < 0 \,$

${ x + \frac{ b }{ 2a } } ^2$ è una quantità sempre positiva e $- \frac{ \Delta }{ 4a }$ è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.

$\Delta = 0 \,$

$- \frac{ \Delta }{ 4a }$ è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: ${ x + \frac{ b }{ 2a } } ^2 > 0$ . Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per $x = -\frac{b}{2a}$ , che invece rende il primo membro uguale a zero.

$\Delta > 0 \,$

In questo caso significa che l'equazione

a x 2 + b x + c = 0

ha due soluzioni e il trinomio

a x 2 + b x + c

è quindi scomponibile in

a (x - x 1)(x - x 2)

; la nostra disequazione diventa quindi:

a (x - x 1)(x - x 2) > 0

Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:

(x - x 1)(x - x 2) > 0

Scriviamo il quadro dei segni:

f 1 > 0 x > x 1

f 2 > 0 x > x 2

		$x_1 \,$		$x_2 \,$
$f_1 \,$	–		+		+
$f_2 \,$	–		–		+
$f_1 \cdot f_2 \,$	+		–		+

A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:

$x < x_1 \or x > x_2$

Se consideriamo invece la disequazione:

a x 2 + b x + c < 0

i nostri risultati saranno invece:

$\Delta < 0 \,$

La disequazione non è verificata per alcun valore di x

$\Delta = 0 \,$

La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x

$\Delta > 0 \,$

Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:

$x_1 < x < x_2 \,$

(x è compreso tra le due soluzioni).

Se anziché essere $> \,$ o $< \,$ il nostro segno fosse $\geq$ o $\leq$ dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: