Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi

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Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.

Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.

Indice

1 Raccoglimento a fattor comune
2 Raccoglimento parziale
3 Uso dei prodotti notevoli
4 Scomposizione di trinomi di secondo grado
5 Somma o differenza di due cubi

[modifica] Raccoglimento a fattor comune

Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:

$x(a+b+c)= xa+xb+xc\,$

Per la proprietà simmetrica dell'ugaglianza vale nache:

$xa+xb+xc = x(a+b+c)\,$

È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:

$4x^3+6xy \,$

Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:

$4x^3+6xy= 2x \cdot 2x^2+2x \cdot 3y \,$

Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:

$2x \cdot 2x^2+2x \cdot 3y= 2x(2x^2+3y) \,$

[modifica] Raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio:

$ax+bx+ay+by \,$

in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:

$ax+bx+ay+by= \,$

Prima su porzioni del polinomio:

$x(a+b)+y(a+b)= \,$

Poi su tutto il polinomio:

$(a+b)(x+y) \,$

[modifica] Uso dei prodotti notevoli

Usando i meccanismi inversi dei prodotti notevoli è possibile scomporre in fattori alcuni polinomi.

[modifica] Differenza di due quadrati

Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

$\left( a - b \right) \left( a + b \right) = a^2-b^2\,$

Consideriamo questo polinomio:

$a^2x^2-b^2y^2\,$

In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:

$(ax)^2-(by)^2=\,$

Noteremo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.

$(ax-by)(ax+by)\,$

Facciamo un altro esempio:

$25x^2-9y^2=\,$

$(5x)^2-(3y)^2= \,$

$(5x-3y)(5x+3y)\,$

[modifica] Quadrato di un binomio

Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

$\left( a + b \right)^2 = a^2+2 ab +b^2\,$

Consideriamo questo trinomio:

$x^2+6x+9=\,$

poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:

$(x)^2+ 2 \cdot 3 \cdot x + (3)^2=$

il trinomio di partenza è equivalente a:

$(x+3)^2\,$

[modifica] Cubo di un binomio

Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

$\left( a + b \right)^3 = a^3+3 a^2b +3 ab^2+b^3\,$

Consideriamo questo quadrinomio:

$8 x^3 +12 x^2 y +6 x y^2 + y^3=\,$

poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:

$\left (2 x \right )^3 +3 \left (2 x \right )^2 y +3 \left (2 x \right ) y^2 + y^3=\,$

il quadrinomio di partenza è equivalente a:

$\left (2 x+y \right )^3\,$

Analogamente:

$a^3-3 a^2b +3 ab^2-b^3 = \left( a - b \right)^3 \,$

[modifica] Scomposizione di trinomi di secondo grado

Se il trinomio è in questa forma:

$x^2+sx+p\,$

se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.

Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato $p\,$ e sommati diano $s\,$ . Se riusciamo a trovarli, chiamando $n_1\,$ e $n_2\,$ questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto: