Matematica per le superiori/La circonferenza

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La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro.

Indice

[modifica] Equazione generica

\sqrt{(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 } = r

(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2 \!

L'equazione generica di una circonferenza è un'applicazione della distanza fra due punti in cui una distanza (r) ed un punto (C(xc;yc)) rimangono costanti.

Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):

x^2 -2x_cx + x_c^2 + y^2 -2yy_c + y_c^2 - r^2 = 0

x^2 + y^2 -2x_cx -2y_cy + x_c^2 + y_c^2 - r^2 = 0

È comunque possibile ricostruire i dati fondamentali di una circonferenza (centro e raggio) anche a partire dalla forma implicita:

a = -2x_c \quad \rightarrow \quad x_c = -\frac{a}{2}

b = -2y_c \quad \rightarrow \quad y_c = -\frac{b}{2}

c = x_c^2 + y_c^2 - r^2 \quad \rightarrow \quad r = \sqrt{x_c^2 + y_c^2 -c}

[modifica] Circonferenza per tre punti

Per tre punti qualsiasi passa una ed una sola circonferenza. Per definirla e trovarne l'equazione si può procedere per via geometrica o algebrica:

  • Metodo algebrico: si mettono a sistema tre equazioni generiche di circonferenze sostituendo in ciascuna equazione le coordinate di uno dei tre punti e si risolve tale sistema.
  • Metodo geometrico: si ricostruisce l'equazione a partire dal centro, intersezione degli assi dei due segmenti formati dai tre punti, e dal raggio, distanza di uno dei tre punti dal centro.

[modifica] Rette tangenti alla circonferenza

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla circonferenza (da un punto interno non possono passare tangenti).

Rimane valido il metodo di mettere a sistema la circonferenza e il fascio per P imponendo che il delta sia uguale a 0, ma in entrambe i casi è preferibile utilizzare metodi alternativi e più veloci:

  • Punto esterno alla circonferenza, due tangenti: Si applica la formula della distanza punto-retta considerando come punto il centro della circonferenza e come retta il fascio per P.
  • Punto appartenente alla circonferenza, una tangente: Si trova la perpendicolare al raggio CP passante per P.

[modifica] Fasci di circonferenze

Fasci di circonferenze.png

Come per le rette, per creare una fascio di circonferenze si parte da due generatrici γ1 e γ2. Per le loro due intersezioni passano le infinite circonferenze che costituiscono il fascio.

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