Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

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Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:

\sqrt[n]{A_{(x)}} \geq B_{(x)} \,

[modifica] Esponente dispari

\sqrt[3]{f_{(x)}} > g_{(x)} \quad \rightarrow \quad f_{(x)} > g_{(x)}^3

La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice n della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla n l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

[modifica] Esponente pari

\sqrt{f_{(x)}} > g_{(x)}

In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in \R la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:

  • I valori di x per cui g_{(x)} \geq 0
  • I valori di x per cui g_{(x)} < 0 \,

I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di g(x) elevando all'indice della radice di f(x). La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.

Si avranno quindi i seguenti sistemi:

\left\{\begin{matrix} g_{(x)} > 0 \\ f_{(x)} \geq 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right. \quad \cup \quad \left\{\begin{matrix} g_{(x)} \leq 0 \\ f_{(x)} \geq 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right.

Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di g(x) > 0, f(x) dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di g(x); la terza disequazione è quindi superflua.

Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:

\left\{\begin{matrix} g_{(x)} > 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right. \quad \cup \quad \left\{\begin{matrix} g_{(x)} \leq 0 \\ f_{(x)} \geq 0 \end{matrix}\right.

In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.

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