Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado

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Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma

$ax^{2}+bx+c=0 \,$

Queste possono essere di tre tipi:

pure (quando $b = 0$ , quindi del tipo $ax^{2}+c=0 \,$ )
spurie (quando $c = 0$ , quindi del tipo $ax^{2}+ bx = 0 \,$ )
complete ( $ax^2 + bx + c = 0\,$ )

Indice

1 Equazioni di secondo grado pure
- 1.1 Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure
- 1.2 Esempio
2 Equazioni di secondo grado spurie
- 2.1 Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie
- 2.2 Esempio
3 Equazioni di secondo grado complete
- 3.1 Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- 3.2 Esempio
4 Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado
- 4.1 Applicazioni

[modifica] Equazioni di secondo grado pure

Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$ax^2 + c = 0 \,$ , dove quindi scompare il termine di primo grado $bx\,$ (quando cioè si ha che $b=0\,$ ).

[modifica] Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure

L'equazione diventa quindi: $x^2 = - {c \over a}$ .

Abbiamo due casi:

a e c sono discordi (hanno segno diversi)
a e c sono concordi (hanno lo stesso segno)

Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a $- {c \over a}$ , quindi $x_{1,2} = \mp \sqrt{- {c \over a} }$ .

Se $a \,$ e $c \,$ sono concordi invece si ha che ${c \over a}$ è un numero positivo e quindi il suo opposto, $- {c \over a}$ , è negativo. Si ottiene quindi: $x^2=\,$ <numero_negativo>, ma questa equazione non ha soluzione (in $\mathbb{R}$ ) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo. Quindi se $- {c \over a}$ è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.

[modifica] Esempio

$2x^2 - 5 = 0 \,$

$x_{1,2} = \mp \sqrt{5 \over 2}$

[modifica] Equazioni di secondo grado spurie

Si dicono spurie le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$ax^2 + bx = 0 \,$

[modifica] Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie

L'equazione si può ricondurre alla forma $x ( ax + b ) = 0 \,$ .

Per la legge di annullamento del prodotto,

$x = 0 \vee ax + b = 0$

$x = 0 \vee ax = - b$

$x = 0 \vee x = - {b \over a}$

Le soluzioni sono quindi $x_1 = 0 \,$ e $x_2 = - {b \over a}$

[modifica] Esempio

$3x^2 + 8x = 0 \,$

$x_1 = 0 \,$ e $x_2 = - {8 \over 3}$

[modifica] Equazioni di secondo grado complete

Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

[modifica] Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete

Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$ con $a, b, c \in \R$ e $a \not= 0, b \not= 0, c \not= 0$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $4a\,$ :

$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \,$

Aggiungiamo quindi $b^2\,$ a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:

$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac \,$

Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \,$

Il secondo membro di questa equzione è chiamato discriminante, in quanto discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca $Δ$ (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:

$Δ < 0$

L'equazione non ha soluzioni in $\R$ , in quanto la quantità

(2 a x + b) 2

è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.

$Δ > 0$

In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:

$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \,$

$2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$

$2ax = -b\pm\sqrt{b^2-4ac}$

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

L'equazione ha quindi due soluzioni, una $\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ e una $\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

$Δ = 0$

L'equazione diventa quindi $(2ax + b)^2 = 0\,$ , cioè $(2ax + b)(2ax + b) = 0\,$ ; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, $x_{1,2} = - {b \over 2a}$ .

[modifica] Esempio

$x^2 + 3x - 10 = 0 \,$

Calcoliamo il discriminante:

$\Delta = 3^2 - (- 40) = 9 + 40 = 49 \,$

A questo punto risolviamo, con $Δ > 0$ :

$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}$

$x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac {4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac {-10}{2} = -5$

[modifica] Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado

Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione di secondo grado:

$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$