Matematica per le superiori/I polinomi

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Indice

[modifica] Polinomio

[modifica] Definizione n.1

Si dice polinomio ogni somma algebrica di uno o più monomi.

x2 + axb4 + 2x2 + 7z

Può essere inteso quindi anche come la somma di monomi non simili.

[modifica] Polinomio ridotto

Un polinomio costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa, viene detto polinomio ridotto.

[modifica] Esempio

Il polinomio ax + b2 + yz4 è un polinomio ridotto, perché è costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa.

[modifica] Nomenclatura

Alcuni polinomi hanno una nomenclatura particolare:

Si chiama binomio un polinomio costituito da due monomi

Esistono quindi ad esempio anche trinomi, quadrinomi ecc... (solitamente oltre i quadrinomi non ha più senso utilizzare con nomi specifici).

[modifica] Grado di un polinomio

Si dice grado di un polinomio il massimo grado di tutti i suoi termini (monomi).

[modifica] Esempio

Il grado del polinomio x4 + ax2 + bx3 + a + x è 4, poiché i gradi dei suoi termini sono:

  • x4: 4;
  • ax2: 3;
  • bx3: 4;
  • a: 1;
  • x: 1;

e il massimo tra questi è 4.

[modifica] Operazioni tra polinomi

[modifica] Somme di polinomi

Per sommare due o più polinomi è sufficiente riscriverli effettuando i dovuti cambiamenti di segno che sono necessari. Ad esempio:

(4a + 12b + 7c) − (21x − 12xy) = 4a + 12b + 7c − 21x + 12xy

Nel caso la somma risultasse un polinomio non ridotto, basterà ridurlo.

[modifica] Prodotto di polinomi

Per moltiplicare tra loro due polinomi è necessario fare ricorso alla proprietà distributiva. Partiamo dal caso più semplice, la moltiplicazione di un monomio con un binomio:

a(a + x2) = a2 + ax2

3x^3 \left( \frac {a^2 + 5b}{2} \right) = \frac {3a^2x^3 + 15x^3b}{2}

Nel caso della moltiplicazione tra due binomi, poi, sarà necessario applicare la proprietà distributiva ad ognuno dei due fattori:

(a + x2)(3b + 2y) = a(3b + 2y) + x2(3b + 2y) = 3ab + 3ay + 4bx2 + 2x2y

Il procedimento è quindi lo stesso andando avanti. Quando i polinomi sono costituiti da molti monomi, la cosa più comodo è moltiplicare il primo monomio del primo fattore con i monomi del secondo, e così via in ordine fino all'ultimo:

(A + B + C + D)(E + F + G) = AE + AF + AG + BE + BF + BG + CE + CF + CD + DE + DF + DG


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